ich habe unheimliche Probleme mit folgenden zwei Aufgabe. Ich habe glaub ich ein Brett vorm Kopf und absolut keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.
A1: Bestimme Sie alle metrischen Projektionen πC(z) von Punkten z ∈ ℝn auf die Menge C = ( {x ∈ ℝ2 : ||x|| = 1} ∪ {\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix})
A2: Betrachten Sie die Menge C= conv{y1, y2, y3, y4}, wobei $$y1= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} , y2= \begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix} , y3= \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} , y4= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} $$.
Bestimmen Sie alle Stützhyperebenen.
=> Ich weiß nicht, warum ich immer wieder einen Absatz reingehauen kriege bei den Vektoren.
In der Vorlesung ist folgendes definiert:
Def. 1.1) Eine Menge H⊆ℝn heißt (affine) Hyperebene, falls es einen Vektor c ∈ ℝn \ {0} und ein δ ∈ ℝ gibt mit H={cTx = δ}.
Def. 1.2) Die abgeschlossenen und konvexen Mengen H+= {x ∈ ℝn : cTx ≥ δ} und H-={cTx ≤ δ} heißen Halbräume.
Def. 2.1) Seien C,D ⊆ ℝn . Eine Hyperebene H heißt Trennhyperebene von C, falls C ⊆ H- und D ⊆ H+ (oder umgekehrt).
Def. 2.2) Sei C ⊆ ℝn .Eine Hyperebene H heißt Stützhyperebene von C, falls C ⊆ H- und C ∩ H ≠ ∅
Def. 3) Sei C ⊆ ℝn eine abgeschlossene und konvexe Menge, die nicht leer ist. Sei z ∈ ℝn . Dann gibt es genau einen Punkt y ∈ C mit der Eigenschaft ||y-z|| = inf { ||x-z||: x ∈ C}.
Dieser Punkt wird auch als metrische Projektion von z auf C bezeichnet. Darüber hinaus gilt für alle x ∈ C die Ungleichung (z-y)T(x-y) ≤ 0
