Zeigen Sie mit der Dimensionsformel, dass dann auch H ∩ U ⊂ U eine Hyperebene ist

Question

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Ein Untervektorraum H ⊂ V mit $$ dim(H) = dim(V ) - 1 $$ nennt man auch Hyperebene. Sei nun U ⊂ V ein Untervektorraum und H ⊂ V eine Hyperebene, welche U nicht enthält. Zeigen Sie mit der Dimensionsformel, dass dann auch $$ H∩U⊂U $$ eine Hyperebene ist. Skizzieren Sie die Situation für den Anschauungsraum $$ V={ ℝ }^{ 3 }\quad und\quad dim(U)=2 .$$

Answer 1

sei dim(v) = n.  und dim(U)=k

dim(H+U) = dim(H) + dim(U) - dim(H ∩ U)

dim(H ∩ U) = dim(H) + k -  dim(H+U)

da H den Raum U nicht enthält ist dim(H+U) > dim(H) > n-1 also =n, da H+U natürlich auch Unterraum von V

also Fortsetzung   =  n-1  +   k   - -n
                                   = k-1   also H ∩ U Hyperebene von U
im Anschauungsraum ist U eine Ebene und H auch.
Der Schnitt ist eine Gerade, also eine Hyperebene von U.

Comments

Wi skizziert man das für V = R^3 und  dim(U)=2

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3D Koordinatensystem ?

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3 d koordinatensystem weiss ich aber wie ist das mit dim(U) zu zeichnen?