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Durch das Zentrum \( Z \) eines Dorfes führt eine geradlinige Hauptstraße. Es soll eine Umgehungsstraße gebaut werden, die symmetrisch zur Nord-Süd-Achse des Dorfes verläuft, in \( A \) und \( B \) tangential in de geradlinige Hauptstraße mündet und \( 500 \mathrm{~m} \) nördlich vom Dorfzentrum durch den Punkt \( C \) führt (vgl. Abbildung, eine LE entspricht \( 1 \mathrm{~km} \) ).

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, die den Verlauf der Umgehungsstraße für \( -1 \leqq x \leqq 1 \) beschreiben könnte.

blob.png


Ansatz:

f(0)=1 ; f´(0)=0 ; f(-1)=0,5 ; f(1)=0,5 und die 5. Bedienung ?, ich weiß, dass die ungeraden Exponenten wegfallen.   ax4+bx2+e=f(x)     e=1    so  es bleiben  ax4+bx2+1=f(x)

f(1)=a+c+1=0,5      a=0.5-c
f(-1)=0,5-c+c+1=0,5      -c+c=-1  ?

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Allgemein wird korrekterweise für knickfreie Splines dieser Ansatz verwendet:
$$ f(x)= ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $$
Bedingungen:
Stelle x=-1:
$$f(-1)=0,5$$
$$f'(-1)=0$$
$$f''(-1)=0$$
Stelle x=0:
$$f(0)=1$$
$$f'(0)=0$$
Stelle x=1:
$$f(1)=0,5$$
$$f'(1)=0$$
$$f''(1)=0$$
$$ f'(x)= 5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e $$
$$ f''(x)= 20ax^3+12bx^2+6cx+2d $$
Bedingungen einsetzen, Gleichungssystem erstellen, lösen ist ein wenig Fleiss, aber bei den Werten fliegt wohl ziemlich viel in die Tonne.

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ja danke sehr, ich habe dann erkannt das die Punkte A und B auch Tiefpunkte sind, und hatte dann genug bedienungen für den Gtr 

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