Begründen Sie, dass span(M) ein Teilraum des Vektorraums ℝ_{≤ 3}[x] ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Menge \( \mathcal{M} \subseteq \mathbb{R}_{\leq 3}[x] \)

\( \mathcal{M}=\left\{x^{3}+4, x^{3}-x^{2}+1, x^{2}+3\right\} \)

a) Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass \( \operatorname{span}(\mathcal{M}) \) ein Teilraum des Vektorraums \( \mathbb{R}_{\leq 3}[x] \) ist.

b) Beweisen sie, dass die Vektoren in \( \mathcal{M} \) linear abhängig sind.

c) Zeigen Sie, dass \( \left\{x^{3}+4, x^{2}+3\right\} \subset \mathcal{M} \) ein Erzeugendensystem von \( \operatorname{span}(\mathcal{M}) \) ist.

d) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{span}(\mathcal{M}) \) und geben Sie die Dimension von \( \operatorname{span}(\mathcal{M}) \) an.

Answer 1

a) Da alle Polynome von M Grad <= 3 haben, besteht auch der Spann von M aus Polynomen vom Grad <= 3 und ist somit ein Unterraum von IR_<=3[x].
b) Das 2. addiert mit dem 3. Polynom von M ergibt das erste. Also sind sie lin.abh.
c) Das 2.Polynom von M ist (s.o.) das erste minus das 3.
also kann man alles was man mit den dreien erzeugen kann, etwa xp1 + y*p2 +z*p3
auch durch das erste und letzte erzeugen, etwa so

xp1 + y*(p1-p3) +z*p3     =  (x+y)*p1  +   (z-y)*p3
also bilden die beiden ein Erz.syst für   spann(M).

d)Die beiden polynome aus c) bilden ein Erz.syst. für   spann(M) (s.o.)
und sind linear unabh. denn der Ansatz  a*p1 + b*p2 = Nullpolynom
gibt      ax^3 + bx^2 + 4a+3b   = Nullpolynom.
Da das Nullpolynom nur Koeffizienten Null hat,
muss a=b=0 sein,  also sind sie lin.unabh.