Aufgabe:
Gegeben seien K-Vektorräume V,W endlicher Dimension und eine K-lineare Abbildung f : V→W
Zeigen Sie:
(i) Es sind äquivalent:
- f ist injektiv;
- für jede Basis B von V gilt: #(B)=#(f(B));
- es gibt eine Basis B von V, so dass #(B)=#(f(B)) ist und f(B) linear unabhängig ist.
(ii) Es sind äquivalent:
- f ist surjektiv;
- für jede Basis B von V ist <f(B)>=W
- es gibt eine Basis B von V mit <f(B)>=W
(iii) Es sind äquivalent:
- f ist bijektiv;
- für jede Basis B von V gilt: #(B)=#(f(B)) und f(B) ist Basis von W
- es gibt eine Basis B von V, so dass gilt: #(B)=#(f(B)) und f(B) ist Basis von W.
