Cauchy-Verteilung einer Gleichung

Question

Hallo miteinander,

leider bin ich - salopp gesagt - zu blöd folgende Aufgabe lösen:

Sind X und Y unabhängig und nach Cauchy-Verteilungen \[ \gamma_a \text{ und } \gamma_b \text{ verteilt},\]dann ist X+Y ebenfalls $$\gamma_{a+b}$$ verteilt. Dabei wird mir ein Hinweis auf die Partialbruchzerlegung gegeben und noch die folgende Gleichung:

$$\frac{a}{(a^2+(u-y)^2)}\cdot\frac{b}{(b^2+y^2)} = \frac{ab}{[(a+b)^2+u^2][(a-b)^2+u^2]} \left[\frac{a^2-b^2+u(u+2y)}{(b^2+y^2)} - \frac{a^2-b^2+u(-3u+2y)}{(a^2+(u-y)^2)} \right].$$

Was muss ich machen? Nur die Gleichung zeigen oder kann mir jemand bitte helfen? :-)

Ich danke Euch schon mal für Eure Hilfe!

Answer 1

Hi,
die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Zufallszahlen wird mittels Faltungsintegral berechnet, d.h. wenn \( x_a \) und \( y_b \) unabhängige Zufallsvariablen mit Dichte \( f_a \) bzw. \( f_b \) sind, dann berechnet sich die Dichte der Zufallsvariablen \( u=x+y \) wie folgt
$$ f_{x+y}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f_a(t) f_b(u-t) dt  $$
Die Dichte der Cauchyverteilung mit Breite \(a \) und Zentrum \( 0 \) sieht wie folgt aus
$$ f(x)=\frac{1}{\pi} \frac{a}{a^2+x^2}  $$
D.h. das Faltungsintegral für die Summe der Zufallsvariablen mit Breite \( a \) und \( b \) sieht so aus
$$ f_{x+y}(u)=\frac{1}{\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{a}{a^2+(u-t)^2}\cdot \frac{b}{b^2+t^2} dt $$
Mit den Hinweis folgt
$$ (1) \quad f_{x+y}(u)=\frac{1}{\pi^2} \frac{ab}{ \left[(a+b)^2+u^2 \right]\left[(a-b)^2+u^2 \right] } \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{a^2-b^2+u(u+2t)}{b^2+t^2} - \frac{a^2-b^2+u(-3u+2t)}{a^2+(u-t)^2} \right]dt  $$
Mit den Integralen
$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a^2+t^2}=\frac{\pi}{a}  $$ und
$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{t}{a^2+t^2}=0  $$ folgt
$$ f_{x+y}(u)=\frac{1}{\pi^2} \frac{ab}{ \left[(a+b)^2+u^2 \right]\left[(a-b)^2+u^2 \right] } \left[ (a^2-b^2+u^2)\frac{\pi}{b} - (a^2-b^2-3u^2)\frac{\pi}{a}-2u^2\frac{\pi}{a} \right] $$
Und das ist gleich
$$ f_{x+y}(u)=\frac{1}{\pi}\frac{a+b}{(a+b)+u^2}  $$
Damit hat \( u=x+y \) eine Cauchydichte mit Breit \(a+b \) und Zentrum \( 0 \) was zu beweisen war.