an strebt gegen null zusammenhang mit betrag an

Question

Für eine folge (a_n) in ℝ gilt genau dann a_n →0, wenn betrag a_n →0. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Konvergenz (a_n ) und betrag a_n, wenn es sich nicht um nullfolgen handelt? (geben sie gegebenenfalls die nötigen implikationen an und beweisen sie diese, gilt eine implikation nicht, ist ein gegenbsp. anzugeben)

Answer 1

1. Verwende die allgemeine Definition von Konvergenz auf eine Nullfolge um direkt die Äquivalenz der Behauptung zu zeigen.

2. Ist der Grenzwert \(c\) ungleich Null, dann gilt nur die Richtung: \(a_n \to c \Rightarrow |a_n| \to |c| \)

Das kannst du mit der Version der Dreiecksungleichung

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

zeigen.

Für die Rückrichtung reicht ein Gegenbeispiel (Tipp: alternierende Folge).

Gruß

Comments

hmm also müsste ich zeigen:  

|a_n - c| < ε   ⇒ ||a_n| - |c|| < ε

ich muss also |a_n - c| so weit nach unten abschätzen, bis ich ||a_n| - |c|| habe.

das mach ich einfach, indem ich es hiermit mache,

hab dann ||a_n| - |c||<  ε  und bin fertig?

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"ich muss also |a_n - c| so weit nach unten abschätzen, bis ich ||a_n| - |c|| habe."

Nein, es heißt du musst \( ||a_n|-|c||\) nach oben abschätzen.

Und ja dafür musst die die alternative Dreiecksungleichung verwenden.

Wann du fertig bist müsste dir selbst klar sein :)

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wenn ich ||a_n| - |c|| nach oben abschätze, also

||a_n| - |c|| <= |a_n - c| , zeige ich dann nicht genau die Rückrichtung? und die ist doch wegen der alternierenden folge nicht gülitg ?

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Nein, dies gilt sowieso damit hast du noch gar nichts gezeigt.
Wenn du jetzt verwendest, dass \(a_n\) konvergiert, dann hast du gezeigt, dass \( |a_n| \) konvergiert. Und das ist offensichtlich die Hinrichtung :) (ohne Todesfall).

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also

||a_n| - |c||  <= |a_n - c|<  ε

folglich ||a_n| - |c|| < ε

also lim ( |a_n| ) = |c| oder steh ich hier komplett aufm schlauch?

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Wenn du es bei deinen eigenen Notizen noch ausführlich genug machst dann wird dies richtig sein.

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cool. ist ja einfacher als gedacht =) danke