f(x) = √x integrieren. Was mach ich mit der Wurzel? Integralrechnung

Question

f(x)= √x  

das Ergebnis ist F(x)=2/3 x^1,5

kann mir jemand erklären wie man unter der wurzel aufleitet

Answer 1

Man kann hier Potenzgesetze anwenden.

f(x) = √x = x^1/2

Bekannt ist bestimmt:

f(x) = xⁿ; F(x) = 1/ (1+n) * xⁿ⁺¹

Jetzt nimmst du n = 1/2

und hast F(x) = 1/ ( 1 + 1/2)  * x^{1+ 1/2} = 1/(3/2)   * x^3/2 = 2/3 * x^1.5

Comments

aber warum nimmt man denn n = 1/2 ?

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Wurzeln können mit gebrochenen Exponenten geschrieben werden.

Vgl. Standardfall hier https://www.matheretter.de/wiki/wurzelgesetze

Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:

$$\sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = x^{\frac { \color{blue}{b} }{ \color{red}{a} }}$$

Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.

Wenn wir den 'Standardfall' haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:

$$\sqrt [ \color{red}{a} ]{ x } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{a} }}$$

Deshalb ist f(x) = √x = x^1/2   und der Exponent ist 1/2.

Die Integrationsregel für Potenzen gelten auch bei gebrochenen Exponenten.

Answer 2

$f(x)= \sqrt{x}$

$F(x)= \int\limits_{}^{}\sqrt{x} dx$

Substitution:

$\sqrt{x}=u |^2$

$x=u^2$ 

$\frac{dx}{du}=2u$

$dx=2u du$

$F(x)= \int\limits_{}^{}\sqrt{x} dx = \int\limits_{}^{}u \cdot 2u du= 2\int\limits_{}^{}u^2 du=\frac{2}{3}u^3$

Re-Substitution:

$F(x)= \int\limits_{}^{}\sqrt{x} dx=\frac{2}{3}(\red{\sqrt{x}})^3=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

Erläuterung :$\red {\sqrt{x}}$ lässt sich auch so schreiben  $x^{\frac{1}{2}}$