Erzeugendensystem: Für welche Werte von c ∈ ℝ ist E keine Basis des ℝ^{2}?

Question

(a) Gegeben ist das Erzeugendensystem \( E=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\ c\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}c \\ 1\end{array}\right]\right\} \), wobei \( c \in \mathbb{R} \) ist.

(i) Für welche Werte von \( c \in \mathbb{R} \) ist \( E \) keine Basis des \( \mathbb{R}^{2} \)?

(ii) Welche Untervektorräume ergeben sich für diejenigen \( c \in \mathbb{R} \), für die \( E \) keine Basis des \( \mathbb{R}^{2} \) ist?

(b) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass \( B=\left\{1, x, x^{2}\right\} \) eine Basis des Vektorraumes \( F_{2} \) aller Polynome in einer Unbekannten vom Grad kleiner oder gleich 2 ist. Mit anderen Worten: Jedes Polynom \( p(x) \) dieses Vektorraumes lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basiselemente darstellen; d. h. \( p(x)=a x^{2}+b x+c \) mit \( a, b, c \in \mathbb{R} \).

(i) Zeigen Sie, dass \( E=\left\{x^{2}-x+2,3 x-4,2 x^{2}+x\right\} \) keine Basis von \( F_{2} \) ist.

(ii) Geben Sie für den von \( E \) erzeugten Untervektorraum von \( F_{2} \) eine Basis an.

(iii) Zeigen Sie, dass \( U=\left\{p \in F_{2} \mid p(x)=(2 a+b) x^{2}+a x+2 b\right. \) mit \( \left.a, b \in \mathbb{R}\right\} \) ein Untervektorraum von \( F_{2} \) ist.

Answer 1

keine Basis, wenn a*(1;c) = (c;1)  also  a=c   und a*c=1   also c=1 oder c=-1
Dann sind die Unterräume  die Vielfachen von (1;1)   oder halt von (1;-1)

(i) es ist 0,5*p2 + (-0,5)*p3 = p1 also sind sie lin.abh.
(i) Basis ist dann p2,p3
(iii) Die kannst du alle durch u*p2+v*p3 mit geeigneten u und v darstellen

Comments

Könnten sie mir die schritte vielleicht ein bisschen detaillierter erklären? :S

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keine Basis, wenn die vektoren lin abh. sind.

das ist der Fall, wenn  a*(1;c) = (c;1) 

also  a=c   und a*c=1

also               c^2 = 1

also c=1 oder c=-1

Dann sind die Unterräume  die Vielfachen von (1;1) also alle

von ter Form t*(1;1)      oder halt von (1;-1) also...

(i) es ist 0,5*p2 + (-0,5)*p3 = p1 also sind sie lin.abh.

denn das erste Pol. ist eine Lin.komb vom 2. und 3.

und lin. abh. Vektoren bilden keine Basis

(ii) Basis ist dann p2,p3 denn alles was sich mit den dreien erzeugen

lässt, lässt sich wegen (i) auch mit p2, p3 erzeugen.

Diese beiden sind lin. unabh. (Nachweis einfügen ! )

also bilden sie eine Basis.
(iii)

Da hatte ich mich vertan. Unterraum von F2 musst du zeigen:
Summe zweier Elemente  von U ist wieder in U und
für alle z aus IR ist z*p(x) wieder in U.