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Ich will prüfen, ob die Gleichung $$3x^2+5y^2-7z^2=0$$ nicht-triviale Lösungen hat und falls es keine gibt, soll ich die p-adischen Körper, finden, in dene die Gleichung keine Lösung hat. Ich habe den folgenden Satz benutzt:
$$a,b,c \in \mathbb{Z}, (a,b)=(b,c)=(a,c)=1$$
abc ist quadratfrei. Dann hat die Gleichung $$ax^2+by^2+cz^2=0$$ eine nicht-triviale Lösung in $$\mathbb{Q} \Leftrightarrow $$1. a,b,c sind nicht alle positiv und nicht alle negativ 2. ∀ p ∈ ℙ-{ 2}, $$p \mid a$$ ∃r ∈ ℤ sodass $$ b+r^2c \equiv 0 \mod p $$ und eine ähnliche Kongruenz für p ∈ ℙ-{ 2} für dene es gilt $$ p \mid b $$ oder $$ p \mid b $$ oder $$ p \mid c $$3. Wenn a,b,c alle ungerade sind, dann gibt es zwei von a,b,c, sodass deren Summe durch 4 teilbar ist. 4. Wenn a gerade ist, dann ist b+c oder a+b+c durch 8 teilbar. Ähnlich, wenn b oder c gerade ist. " und da:
$$p=3:$$$$5+x^2(-7) \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow x^2 \equiv 2 \mod 3$$
$$\left( \frac{2}{3} \right)=-1$$ hat die Gleichung keine Lösung in $$\mathbb{Q}$$
Um zu prüfen ob es eine Lösung in $$\mathbb{Q}_2$$ gibt, habe ich den folgenden Lemma benutzt:Wenn $$2 \nmid abc \text{ und } a+b \equiv 0 \pmod 4$$ dann hat die Gleichug $$ax^2+by^2+cz^2=0$$ mindestens eine nicht-triviale Lösung in $$\mathbb{Q}_2$$.In unserem Fall $$a+b=8 \equiv 0 \pmod 4$$
also gibt es keine Lösung in $$\mathbb{Q}_2$$.Für $$p=3,5,7$$
habe ich den folgenden Lemma benutzt:
Sei $$p \neq 2$$ eine Primzahl, $$a,b \text{ und }c$$ paarweise teilerfremde ganze Zahlen mit $$abc$$ quadratfrei und $$p \mid a \text{ und } Q: ax^2+by^2+cz^2=0$$ ist eine quadrtaische Form.Dann gibt es eine Lösung zu $$\mathbb{Q} \text{ über } \mathbb{Q}_p \text{ genau dann wenn } -\frac{b}{c} \text{ ein quadratischer Rest }\mod p \text{ ist }$$$$\left( -\frac{5}{-7}\right)=\left( \frac{5}{7} \right)=-1$$Also gibt es keine nicht-triviale Lösung in ℚ_3$$\left( \frac{-3}{-7} \right)=\left( \frac{3}{7} \right)=-1$$Also gibt es keine nicht-triviale Lösung in ℚ_5$$\left( -\frac{3}{5}\right)=-1$$Also gibt es keine nicht-triviale Lösung in ℚ_7Wir müssen noch prüfen ob die Gleichung nicht-triviale Lösungen in ℚ_p, p ≠ 2,3,5,7 hat.Muss man das Henselsche Lemma benutzen? Könntet ihr mir sagen wie man es anweden könnte?
benutzen? 