Hat die Gleichung eine nicht-triviale Lösung in Q_p?

Question

!!

Ich will prüfen, ob die Gleichung $$3x^2+5y^2-7z^2=0$$ nicht-triviale Lösungen hat und falls es keine gibt, soll ich die p-adischen Körper, finden, in dene die Gleichung keine Lösung hat. 

Ich habe den folgenden Satz benutzt: 

$$a,b,c \in \mathbb{Z}, (a,b)=(b,c)=(a,c)=1$$



abc ist quadratfrei. Dann hat die Gleichung $$ax^2+by^2+cz^2=0$$ eine nicht-triviale Lösung  in $$\mathbb{Q} \Leftrightarrow$$


1. a,b,c sind nicht alle positiv und nicht alle negativ 
2. ∀ p ∈ ℙ-{ 2}, $$p \mid a$$ ∃r ∈ ℤ  sodass $$ b+r^2c  \equiv 0 \mod p $$ und eine ähnliche Kongruenz für  p ∈ ℙ-{ 2} für dene es gilt $$p \mid b$$  oder $$p \mid b$$ oder  $$p \mid c$$
3. Wenn a,b,c alle ungerade sind, dann gibt es zwei von  a,b,c, sodass deren Summe durch 4 teilbar ist. 
4. Wenn a gerade ist, dann ist b+c oder a+b+c durch 8 teilbar. 
Ähnlich, wenn b oder c gerade ist. " 

und da:
$$p=3:$$
$$5+x^2(-7) \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow x^2 \equiv 2 \mod 3$$
$$\left( \frac{2}{3} \right)=-1$$ hat die Gleichung keine Lösung in  $$\mathbb{Q}$$

Um zu prüfen ob es eine Lösung in $$\mathbb{Q}_2$$ gibt, habe ich den folgenden Lemma benutzt:

Wenn $$2 \nmid abc \text{ und } a+b \equiv 0 \pmod 4$$ dann hat die Gleichug $$ax^2+by^2+cz^2=0$$ mindestens eine nicht-triviale Lösung in $$\mathbb{Q}_2$$.

In unserem Fall $$a+b=8 \equiv 0 \pmod 4$$
also gibt es keine Lösung in $$\mathbb{Q}_2$$.

Für $$p=3,5,7$$
habe ich den folgenden Lemma benutzt:
Sei $$p \neq 2$$ eine Primzahl, $$a,b \text{ und }c$$ paarweise teilerfremde ganze Zahlen mit $$abc$$ quadratfrei und $$p \mid a \text{ und } Q: ax^2+by^2+cz^2=0$$ ist eine quadrtaische Form.
Dann gibt es eine Lösung  zu $$\mathbb{Q} \text{ über } \mathbb{Q}_p \text{ genau dann wenn } -\frac{b}{c} \text{ ein quadratischer Rest }\mod p \text{ ist }$$

$$\left( -\frac{5}{-7}\right)=\left( \frac{5}{7} \right)=-1$$

Also gibt es keine nicht-triviale Lösung in ℚ_3

$$\left( \frac{-3}{-7} \right)=\left( \frac{3}{7} \right)=-1$$

Also gibt es keine nicht-triviale Lösung in  ℚ_5

$$\left( -\frac{3}{5}\right)=-1$$

Also gibt es keine nicht-triviale Lösung in ℚ_7

Wir müssen noch prüfen ob die Gleichung nicht-triviale Lösungen in  ℚ_p, p ≠ 2,3,5,7 hat.

Muss man das Henselsche Lemma benutzen? Könntet ihr mir sagen wie man es anweden könnte?

 benutzen? 

Answer 1

Zeige, dass $$aX^2+bX^2=Z^2$$ eine Lösung (x,1,z) in GF(p)  hat und lifte dann f:=aX²+b-z

Comments

Wie kann man zeigen, dass $$aX^2+bY^2=Z^2$$ eine Lösung (x,1,z) in GF(p) hat?

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Betrachte die Mengen { z²| z aus GF(p)} und {ax²+1|x aus GF(p)} und zeige, dass ihr Schnitt nicht leer ist.

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Was meinst du mit GF(p) ?

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GF steht für Galois-field, Schreibweise für endliche Körper und wird eigentlich in jeder Algebra-Vorlesung eingeführt.

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GF wurde in unseren Vorlesungen leider nicht eingeführt. Könnte man es auch anders machen?

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Du willst mir doch jetzt nicht ernsthaft sagen ihr habt keine endlichen Körper gemacht?

Wie zur ***** habt ihr denn dann p-adische Körper definiert?

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So haben wir den p-adischen Körper definiert.

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Schön. Aber du brauchst endliche Körper zur Definition der ganzen p-adischen Zahlen.

Sei es wie es will: Du scheinst massive Lücken in den Grundlagen zu haben. Wenn du die nicht aufholst wird's nichts werden.

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Die ganzen p-adischen Zahlen haben wir so definiert:




Also muss man unbedingt GF benutzen?

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GF ist eine SCHREIBWEISE für endliche Körper. Damit kann man diese im Fließtext schreiben ohne LaTeX-Benutzen zu müssen.

Den Körper mit p Elementen muss man unbedingt benutzen. (und das habt ihr auch)

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Könntest du mir genauer erkären wie man es zeigen könnte? Ich habe es nicht verstanden.. :/

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Ich wüßte nicht wie ich es anders erklären könnte als es dir (imho sehr gut und ausführlich  )bereits erklärt wurde:

http://math.stackexchange.com/questions/1004639/why-doesnt-the-equat…

"Ich habe es nicht verstanden.. :/"

Man könnte dir eventuell helfen wenn du deine Probleme genau schildern könntest. Dass du das scheinbar nicht kannst sehe ich aks Symptom, dass dir die Grundlagen fehlen.

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Also bedeutet es, dass man immer egal welche Geichung man hat  eine Lösung in ℚ_p finden kann, wenn p≠2, p ≠ Primzahlen die die Koeffizienten der Gleichung teilen?