Zweimalige partielle Integration

Question

Aufgabe:

Zweimalige partielle Integration:

\( \int \limits_{0}^{\infty} e^{-c x} \cos (b x) d x, c>0 \)

Ich müsste sie durch zweifache partielle Integration bestimmen.

Answer 1

∫ e^{- c·x}·COS(b·x) dx = -1/c·e^{- c·x}·COS(b·x) - ∫ - 1/c·e^{- c·x}·(-SIN(b·x))·b dx

= -1/c·e^{- c·x}·COS(b·x) - ∫ b/c·e^{- c·x}·SIN(b·x) dx

∫ b/c·e^{- c·x}·SIN(b·x) dx = -b/c²·e^{- c·x}·SIN(b·x) - ∫ -b/c²·e^{- c·x}·COS(b·x)·b dx

= -b/c²·e^{- c·x}·SIN(b·x) + ∫ b²/c²·e^{- c·x}·COS(b·x) dx

∫ e^{- c·x}·COS(b·x) dx = -1/c·e^{- c·x}·COS(b·x) + b/c²·e^{- c·x}·SIN(b·x) - ∫ b²/c²·e^{- c·x}·COS(b·x) dx

(1 + b²/c²)·∫ e^{- c·x}·COS(b·x) dx = e^{- c·x}·(b/c²·SIN(b·x) - 1/c·COS(b·x))

∫ e^{- c·x}·COS(b·x) dx = e^{- c·x}·(b/c²·SIN(b·x) - 1/c·COS(b·x)) / (1 + b²/c²)

∫ e^{- c·x}·COS(b·x) dx = e^{- c·x}·(b·SIN(b·x) - c·COS(b·x))/(b² + c²)