Skizzieren Sie die Kurven und kennzeichen Sie den Bereich durch Schraffieren. Berechnen Sie das Doppelintegral.

Question

Aufgabe 5 (Normalgebiete):

Ein Normalbereich \( \Omega \) wird in der \( x y \)-Ebene durch die Kurven

\( y=e^{x}, \quad y=1-x, \quad y=e \)

begrenzt. Skizzieren Sie die Kurven maßstäblich und kennzeichen Sie den Bereich durch Schraffieren.

Aufgabe 8 (Doppelintegrale in kartesischer Form mit variablen Grenzen):

Durch welches Doppelintegral wird der Flächeninhalt von \( \Omega \) aus Aufgabe 5 beschrieben. Berechnen Sie dieses Doppelintegral.

Tipp: \( \int \ln (x) d x=\ln (x) \cdot x-x+c \)

Comments

Berechne die Fläche von dem Dreieck, welches links bei Schnittpunkt grün/blau bis zur y-Achse läuft. Dann von der y-Achse bis zum Schnittpunkt rot/grün berechnen. Dann sollte das klappen ;).

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Danke, ich habe  es mehrmals versucht, bin aber noch nicht so richtig vorangekommen. Bei den Doppelintegralen habe ich noch ein wenig Probleme ich weiß nicht wie ich das, was ich in der Zeichnung habe in die Formel übertragen soll :)

Answer 1

Hi Laura,

A linke Fläche und B rechte Fläche (wie oben beschrieben).

$$A + B = \int \int 1\; dx \;dy + \int \int 1 \;dx\; dy$$

Jetzt die Grenzen festlegen, dafür Schnittpunkte bestimmen.

S_links(1-e|e) und S_rechts(1|e)

$$A + B = \int_{1-e}^0 \int_{1-x}^{e} 1\; dy \;dx + \int_0^1 \int_{e^x}^e 1 \;dy\; dx$$

Dabei integrierst Du über 1, da Du die Fläche errechnen willst und bestimmst Deine Grenzen, indem Du Dir im Schaubild anschaust, was die Ober- bzw. Untergrenze ist.

Kontrollergebnis: A + B ≈ 2,476

Grüße

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Danke das hat mir wirklich sehr geholfen ich habe zwar noch etwas lange für die Rechnung gebraucht, da ich nicht so gut in dem Thema Integrale bin aber es hat am Ende doch geklappt. Liebe Grüße :)

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Ich bin nicht so gut bei Integralen, aber alles ist Übungssache. Habe zur Vollständigkeit den Lösungsweg beigefügt :))