Ist die unten aufgeführte Funktion differenzierbar?

Question

Ist g: ℝ→ℝ , g(x) = ∑ 1/(x²+n²) (n=1 bis unendlich)  differenzierbar??

Answer 1

je nach Vorwissen reicht es zu zeigen, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{1}{x^2+c}$ mit $c > 0$ differenzierbar ist.

Gruß

Comments

Wie zeig ich das denn?

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Falls bekannt Ableitung und Quotientenregel oder Kettenregel. Falls nicht über den Differentialquotienten.

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Aber das summenzeichen stört mich :(

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In einer Summe kannst du doch (wenn es möglich ist) jedes Glied einzeln ableiten.

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Das gilt nur für endliche Summen.

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Nein, das gilt auch unter gewissen Bedingungen für unendliche Summen. Betrachte hierzu die Folge der Funktionen definiert durch die Partialsummen. Die Folge der Ableitung dieser Funktionen muss gleichmäßig konvergieren, damit man gliedweise differenzieren darf.

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Hab nun folgendes:

Sei  f_n(x) := 1/ x² +n². dann ist ja die summe von n=1 bis unendlich 1/x² +n² = 1/x² +1  + summe von n=2 bis unedlich f_k(x) .

Also ist 1/x² +1 für alle ℝ differenzierbar.

?