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Gegeben ist ein Kegel mit dem Neigungswinkel von 30° und einen Umfang von 24 m.

Wie berechnet man jetzt das Volumen in m³?
von
Kennst du die trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan bereits oder sollst du Pythagoras verwenden?
Ich denke eher Pythagoras, denn das andere hatten wir noch nicht in der Schule...
Ich hab dir unten 1/√3 noch mit dem Pythagoras hergeleitet.

2 Antworten

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Gegeben ist ein Kegel mit dem Neigungswinkel von 30° und einem Umfang von 24 m.

Wie berechnet man jetzt das Volumen in m³?

Da du nichts Genaueres schreibst, nehme ich an, dass es sich um einen geraden Kreiskegel handelt.

Die Volumenformel für Kegel ist V = 1/3 * G*h. G: Grundfläche, h: Höhe.

Mit Umfang ist hier Umfang des Grundkreises gemeint. u = 2 pi r. Wobei r: Radius.

|dividiere durch 2 pi.

u / (2*pi) = r.

G = pi*r^2             |r einsetzen

G = pi * (u/(2*pi))^2        | Potenzgesetze anwenden

= pi* (u^2 / (4*pi^2)           | alles auf einen Bruchstrich; kürzen

= u^2 / (4*pi)

Wenn du einen Längsschnitt zeichnest, siehst du 2 rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten r, h und Seitenlinie, Winkel 30°. Dort gilt von 30° aus gesehen (Gegenkathete h) / (Ankathete r) = tan 30°

h : r = tan 30° = 1/√3        |    *r

h = r* 1/√3     | r einsetzen

h = u / (2*pi) * 1/√3        | auf einen Bruchstrich bringen

= u / (2*pi*√3)

Jetzt mit G und u in die Formel für V und das noch vereinfachen

V = 1/3 * (u^2 / (4*pi)) * (u / (2pi√3))

= u^3 / (24*√3 * pi^2 )

Nun u=24m einsetzen

V = 24^3 / (24*√3*pi^2 )       |kürzen

V = 24^2 / (√3*pi^2) = 33.695m^3

Schreib das jetzt noch mit richtigen Bruchstrichen ab und rechne nach. Das ist jetzt ziemlich lang und unübersichtlich geworden und hat möglicherweise noch Rechenfehler drinn.

Ich muss dir nun noch mit dem Pythagoras zeigen, dass h = r / √3 ist. Vgl Zeichnung:

Nun kannst du den Teil mit tan 30° oben vergessen.

von 147 k
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Um die Grundfläche zu berechnen  ( Kreis ) den Radius bestimmen

U=2r*π      U=24m

24=2*r*π     r=12/π

G=r²*π  =144/π²  *π=144/π

Volumen =1/3 G*h

h gesucht:

Kegel

h= r/sin 60°             sin 60°=1/2 *√3

h= 24/(π*√3)

V=1/3 (144/ π) *(247(π*√3)= 194,4113 m³/3=64,803m³

 

 

von 21 k

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