Reihenentwicklung auf Kongergenz oder Divergenz überprüfen

Question

Ich habe folgende Reihe gegeben und muss sie auf Konvergenz oder Divergenz überprüfen.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot(-1)^{n}}{n^{2}+n+(-1)^{n+1}\left(n^{2}-n\right)} \)

Ansatz/Problem:

Ich komme nicht weiter, weil wenn man hier nur n=gerade betrachtet, dann konvergiert sie und bei n = ungerade divergiert sie

auch wenn man a2n =.....

und a2n-1.... einsetzt und die beiden dann addiert, bekommt man nicht wirklich etwas raus.

Comments

Du kannst vielleicht pärchenweise neu Klammern cn: = a2n + a2n-1 = ... (vereinfachen)

und dann über die Summe aller cn etwas aussagen.

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Muss ich dann die beiden klammerausdrücke zusammenfassen oder jede klammer für sich betrachten ?

Answer 1

Ist doch eine alternierende Reihe, wegen des (-1)^n im Zähler.
und die Reihenglieder sind abwechseln 1/2n^2  und    1/2n
aber das stört doch eigentlich nicht:

alternierende Reihe mit Reihengliedern, die gegen Null gehen
konvergiert immer  (Leibnizsche Regel ! )

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

Woher weisst du dass |an| monoton ist?

Da könnte eher das Gegenbeispiel in meinem Link bedeutsam sein.

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 für das Leibnitz-Kriterium muss die Folge  aber auch monoton fallend sein, was nicht der Fall ist. Nullfolge reicht hier nicht.