Orthonormalbasis der Vektoren

Question

ich habe hier eine Aufgabe was ich nicht lösen kann, ich weiß nicht wie ich anfangen soll und was ich rechnen soll. Kann mir jemand vielleicht helfen, erklären?

Aufgabe: Gegeben sei im Vektorraum C³ die Basis

$B=\left\{\left(\begin{array}{c}{1} \\ {5} \\ {i}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{0} \\ {-2} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {3} \\ {5}\end{array}\right)\right\}$

Man erzeuge aus B eine Orthonormalbasis

wie soll ich das machen, jetzt sind da noch Buchstaben drinne wie "i"...:((

Comments

Die Frage gab es erst vor kurzem in der gleichen Form. Hier empfehle ich auch dir das Orthonormalisierungsverfahren

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsv…

Beachte dabei, dass das Skalarprodukt auf dem Vektorraum $\mathbb{C}^n$ etwas anders definiert ist.

Answer 1

habt ihr das hier schon bearbeitet ->

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsv…

Vergiß nicht, dass das Skalarprodukt auf $\mathbb{C}^n$ anders definiert ist als auf $\mathbb{R}^n$.

Gruß

Comments

das Thema haben wir nicht groß bearbeitet, ein, zwei Stunden vielleicht....soll ich das genau so machen? i

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Wenn in deinen Unterlagen nichts Genaues steht, versuch's mal mit dem, was Yakyu im Link angegeben hat. Yakyu schaut sicher gern drüber, wenn du deine Version reinstellst.

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das was in Wiki steht, ist für mich nicht sehr hilfreich gewesen, trotzdem danke dass du etwas geschickt hast. In wikipedia ist zwar ein Beispiel, aber dabei sind keine Rechenwege erklärt worden....den ersten Teil verstehe ich ja noch, ab dann weiß nicht was ich machen soll. Ausführliche Beispiele und erklärungen gibt es nicht....

ab hier komme ich nicht mehr weiter....im zweiten Teil verstehe ich den mittleren Teil nicht....also den teil mit <v1,w2>...und beim ersten weiß ich nicht mal ob das richtig ist, weil da ist ja jetzt eine buchstabe mit drinne...

ich habe den betrag ohne "i" ausgerechnet z.B

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https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Beispiele_2

 |w1|² wäre daher 1*1 + 5*5 + i*(-i) = 27.

|w1| = √27 = 3*√3

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ahaa ok,,ich  wusste nämlich nicht wie ich das "i" mit in betracht ziehen soll....aber stimmt j*j=-1

und wie geht es weiter nachdem ich  jetzt Wurzel aus 27 habe?

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Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst musst du alle Einträge mit dieser Zahl multiplizieren. Damit hast du den 1. Vektor der die Länge 1 hat. Jetzt berechnest du mit dem Algortimus den nächsten Vektor der Orthogonal ist auf deinem Vektor.

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ist das richtig?? soll ich das jetzt für die anderen auch machen? Du hast was von algorithmus gesagt, soll ich das ganze mit dem Gauß Algorithmus rechnen?? Wenn ja, warum mache ich den diese Rechenschritte...
irgendwie verstehe ich gar nichts mehr

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Das ist leider falsch, deine Wurzel macht sich aus dem Staub und du kannst i nicht einfach als 1 nehmen, wir arbeiten doch hier mit komplexen Zahlen :)

$$v_1 = \frac{w_1}{||w_1||} = \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{27}} \\ \frac{5}{\sqrt{27}} \\ \frac{i}{\sqrt{27}} \end{pmatrix}$$

Mit Algorithmus meine ich den Link den ich dir geschickt habe -.-

Du willst jetzt einen Vektor haben, der zu $v_1$ orthogonal ist und die Länge 1 hat. Dieser wird $v_2$ heißen

Zuerst orthogonalisieren ($w_2$ ist der 2. Vektor aus deiner Basis B)

$$v_2' = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1$$

Jetzt hast du zwar einen orthogonalen Vektor zu $v_1$ aber musst ihn noch auf die Länge 1 anpassen also:

$$v_2 = \frac{v_2'}{||v_2'||}$$

(dasselbe was du schon mit dem 1. Vektor gemacht hast).

Das ganze kann einem recht kompliziert vorkommen. Wenn du damit nichts anfangen kannst solltest du dir selber erstmal klar machen ob du verstehts:

1. Was der Vektorraum $\mathbb{C}^n$ ist.

2. Wie man Vektoren addiert und subtrahiert und sie mit Skalaren multipliziert.

3. Was der Betrag einer komplexen Zahl ist.

4. Wie man das Skalarprodukt 2er Vektoren auf diesem Vektorraum berechnet.

5. Wie man die Länge eines komplexen Vektors bestimmt.

->2 und 5 haben wir ja schon mal besprochen.

Answer 2

orthonormal heißt ja:   alle haben Länge 1 und sind paarweise orthogonal
also Skalarprodukt 0.
Da nimmst du erst mal statt des 2. Vektors (0,1,0).

Jetzt brauchst du eine Lin. komb vom 1. und 3. der darauf senkrecht steht
also     (x*v1+y*v3)*v2 = 0 gibt    5x+3y=0 also z.B. x=3 und y=-5
das gäbe ( 8 , 0 , 40+3i)  Da stimmt die Länge noch nicht, aber das kann
man ja später noch machen.

und jeztz noch einer, der auf den beiden senkrecht steht, also (x,y,z) mit
(0,1,0)*(x,y,z) = 0 und    ( 8 , 0 , 40+3i)* (x,y,z) = 0
y=0                     und          8x +   (40+3i)*z = 0
also  etwa   40+3i , 0 , -8

Jetzt noch die Länge vom 2. und 3. auf 1 normieren.

Comments

erstmal vielen lieben dank für deine Mühe...

ich habe das mal anders versucht über ein youtube video. Weil deine Rechnung war mir irgendwie nicht ganz klar....ich habe es so versucht ist das vielleicht richtig?? Voraus erstmal, dass "i" bringt mich sehr durcheinander...ich denke ich habe alles falsch gemach aber na jaa vielleicht auch mit Gut Glück richtig...

basis 1) b1:

b) b2=

b3= 

bestimmt ist alles falsch...das i bringt mich durcheinander...ich komme weder damit klar noch mit der aufgabe.....:(((

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die Aufgabe zerbricht mir langsam den kopf :((( ich verstehe es nicht....