Orthonormalbasis und Vektoren bestimmen

Question

Sei V = ℝ⁴ und β: VxV→ℝ das Standard-Skalarprodukt. Wir betrachten den Teilraum

U:={(x₁,x₂,x₃,x₄)∈V | x₁+x₂+x₃+x₄= 0, x₁-x₂+x₃-x₄=0} und

v₀=(1 1 0 0 )^T

In Teilaufgabe a) sollten wir eine Orthonormalbasis von U bestimmen.

Wähle v₁=(1 0 -1 0)^T und v₂=(0 1 0 -1)^T dann sind v₁ und v₂ linear unabhängig und bilden ein Erzeugendensystem also gibt es eine Basis B={v₁,v₂}. Da β(v₁,v₂)=0 ist B eine Orthogonalbasis.

Normiert man die beiden Vektoren erhalten wir die Orthonormalbasis B'={ 1/(2)^1/2 v₁, 1/(2)^1/2 v₂}. Das müsste glaub ich so stimmen oder?

In Teilaufgabe b sollen wir ein u₀∈ U und ein u₁∈ U^⊥ mit v₀=u₀+u₁ bestimmen.

In der Musterlösung steht nun ein Tipp und zwar u₀=β(v₀,v₁)v₁+β(v₀,v₂)v₂. Kann mir jemand sagen, warum man das u₀ so bestimmen muss? Warum wende ich hier genau diese Formel für u₀ an?

Sie erhalten dann als Lösung u₀=1/2(1 1 -1 -1)^T was meiner Meinung nach falsch ist oder? Wenn ich die Formel für u₀ so annehme und die entsprechenden Vektoren einsetze erhalte ich u₀=(2)^1/2 * (1 1 -1 -1) ^T

Kann mir bitte hier jemand weiterhelfen?

Wie man dann das u₁ bestimmt habe ich verstanden.

Answer 1

Wenn Ich die Formel aufschreibe ist das

u0 = β(v0, v1)·v1 + β(v0, v2)·v2
u0 = ([1, 1, 0, 0]·1/√2·[1, 0, - 1, 0])·1/√2·[1, 0, - 1, 0] + ([1, 1, 0, 0]·1/√2·[0, 1, 0, - 1])·1/√2·[0, 1, 0, - 1]

u0 = 1/2·[1, 1, -1, -1]

Prüfe das mal bitte.

Comments

Ah ja klar, ich hab meinen Denkfehler gefunden.

Kannst du mir auch sagen, wieso ich genau diese Formel für u₀ anwende?

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Weißt du das du mit dem Skalarprodukt die Länge eines Vektors in richtung eines anderen Vektors bestimmen kannst?

Du rechnest also die Länge von v0 in Richtung v1 aus und legst diese Strecke dann auf v1 zurück indem du damit multiplizierst.

Nimm das Orthonormalsystem ([1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1])

Nun kannst du jeden Vektor in seine Komponenten aufteilen und daraus auch wieder zusammensetzen.

([x, y, z]·[1, 0, 0])·[1, 0, 0] + ([x, y, z]·[0, 1, 0])·[0, 1, 0] + ([x, y, z]·[0, 0, 1])·[0, 0, 1] = [x, y, z]

Du hast dabei allerdings eben keine vollständige Basis deines 4-dimensionalen Raumes. Damit hast du eigentlich also nur eine Zweidimensionale Abbildung deines Vierddimensionalen Vektors.

Das Wäre wenn ich einen Beliebigen dreidimensionalen Vektor auf die xy-Ebene abbilden wollte. Dann würde ich die z-Komponente weglassen.

([x, y, z]·[1, 0, 0])·[1, 0, 0] + ([x, y, z]·[0, 1, 0])·[0, 1, 0] = [x, y, 0]

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Ok leider verstehe ich damit immer noch nicht, warum ich u₀ so bestimmen muss. Kannst du es mir vielleicht explizit an meinem Beispiel noch anders erklären?

Und stimmt meine Erklärung für Teilaufgabe a)?