Nullstellen berechnen wie geht das?

Question

Gesucht ist die Nullstelle dieser Gleichung f(x)= x⁴-4x³-2x²+12x+9 wie geht das bei einer solch langen gleichung ??

Answer 1

dazu nutzt man die Polynomdivision. Erst errät man eine Nullstelle (x = -1) und dann:

(x⁴  - 4x³  - 2x²  + 12x  + 9) : (x + 1)  =  x³ - 5x² + 3x + 9 
-(x⁴  +  x³)                   
 ————————————
      - 5x³  - 2x²  + 12x  + 9
    -(- 5x³  - 5x²)           
      ——————————
                3x²  + 12x  + 9
              -(3x²  +  3x)    
                ————————
                         9x  + 9
                       -(9x  + 9)
                         ———
                               0

Dann nochmals. Wieder ist eine Nullstelle x = -1.

(x³  - 5x²  + 3x  + 9) : (x + 1)  =  x² - 6x + 9 
-(x³  +  x²)          
 —————————
      - 6x²  + 3x  + 9
    -(- 6x²  - 6x)    
      ———————
                9x  + 9
              -(9x  + 9)
                ————
                      0

Nun kann man die pq-Formel anwenden, oder erkennen, dass da eine binomische Formel vorliegt:

x²-6x+9 = (x-3)² = 0

Insgesamt haben wir also.
x_1,2 = -1 und x_3,4 = 3

Grüße

Comments

aber sind die nullstellen nich 3 und -3 da wir bei (x-3)² eigentlich das zu stehen haben (x+3)(x-3) ??

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Nein, Du benennst gerade die dritte binomische Formel (x-3)(x+3) = x²-3².

Wir aber haben die zweite binomische Formel: (x-3)(x-3) = (x-3)² = x²-6x+9

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und dann nochmal die frage in der ableitung wirde das ganze so aussehen  

4x³-12x²-4x+12 aber ich komme mit dem horner schema nicht weiter da ich bei 12 keinen gemeinsamen teiler finde der passt ??

gibts da eine andere art die zu der aufgabe besser passt

die etwas leichter ist ??

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Doch natürlich gibt es da Teiler.

x = -1, x = 1 und x = 3 sind alles Teiler :P.

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aber wenn ich die ableitung benutze kommen doch auch andere nullstellen raus oder??

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Ja 1 ist eine andere Nullstelle als die der eigentlichen Funktion. Dass x = -1 und x = 3 auch Nullstellen der Ableitung sind, sieht man daran, dass es doppelte Nullstellen sind. Weiß nicht ob ihr die Interpretation dessen schon gelernt habt, sonst kommt das iwann mal noch^^.

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aber in der aufgabe steht auch das ich die nullstellen der ableitung angeben muss und die berechne ich mit dem hornerschema und die daraus antstanden gleichung ist 4x²-16x+12

und  hier muss ich jetzt doch die pq formel anwenden um die weitern stellen zu finden ich muss halt den rechen weg angeben und ihn auch verstehen ^^

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Ich verstehe nicht, worauf Du hinaus willst? Dann wende doch Horner-Schema und pq-Formel an??

Answer 2

x⁴ - 4·x³ - 2·x² + 12·x + 9 = 0

Zunächst prüfst du ob ganzzahlige Teiler von 9 als Nullstelle existieren.

Man findet -1 und 3 als Nullstellen und führt damit eine Polynomdivision/Horner Schema durch.

(x⁴ - 4·x³ - 2·x² + 12·x + 9) / (x + 1) = x³ - 5·x² + 3·x + 9

(x³ - 5·x² + 3·x + 9) / (x - 3) = x² - 2·x - 3

Hier findet man jetzt auch noch die Nullstellen -1 und 3, weshalb -1 und 3 jeweils doppelte Nullstellen sind.