Stochastik - Binomialkoeffizient - Skatspiel

Question

Beim Skatspiel enthält jeder 10 Karten. Die beiden restlichen Karten bilden den Skat, der verdeckt auf den Tisch gelegt wird. Mit welcher enthält der Skat

a) genau zwei Buben

b) genau einen Buben

c)  keinen Buben

d) mindestens einen Buben

e) einen Buben und ein As

f) zwei Karten derselben Farbe

Ich muss ehrlich sagen, dass ich das noch nicht ganz verstehe. Wir haben das Thema aber auch erst kurz angesprochen und noch keine Übungen dazu gemacht.

Wäre schon wenn mir das jemand erklären könnte!

LG

Simon

Answer 1

Die zwei Karten im Skat entsprechen einer zufälligen Auswahl von nacheinander 2 Karten aus einem Stapel von 32 Karten, ohne Zurücklegen. Es sind ingesamt 4 Buben im Spiel.

die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Buben ist also 4/32 * 3/31

genau ein Bube: es gibt zwei Möglichkeiten: die erste Karte ist ein Bube, die zweite Nicht und die erste Karte ist kein Bube aber die zweite ist einer. Die Wahrscheinlichkeiten beider Lösungen werden addiert:

4/32*28/31 + 28/32*4/31

kein Bube:

28/32*28/31

mindestens ein Bube: das ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu kein Bube:

1-P_{kein Bube}

ein Bube und ein As:

2* (4/32*4/31)

Zwei Karten der selben Farbe: es gibt beim Skat vier Farben, also jeweils acht Karten der selben Farbe:

da wir 4 mögliche Farben haben ist die Wahrscheinlichkeit: 4*(8/32*7/31)

Comments

ein Bube und ein As:

2* (4/32*4/31)

Warum mal 2?

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nun ich denke es gibt zwei Möglichkeiten:

erste Karte Bube, zweite Karte Ass

erste Karte Ass, zweite Karte Bube

beide sind von der Wahrscheinlichkeit gleich, daher mal 2

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Danke, aber ich muss die Aufgabe mit der Binomialverteilung rechnen. Das habe ich verstanden, aber es wäre schön wenn du nochmal mir nur zur a) den Weg zur Lösung mit der Binomialverteilung zeigen könntest.

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Die Voraussetzung dafür, dass eine Binomialverteilung angenommen werden kann, ist das Vorliegen eines sogenannten Bernoulli-Experimentes. Ein solches Experiment kennzeichnet sich durch zwei Dinge:

1. Es werden nur zwei Mermalsausprägungen betrachtet

2. Die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Merkmalsausprägungen sind in jeder Wiederholungsstufe unverändert.

Da wir ja den Skat als das Ziehen zweier Karten aus einem Stapel von 32, OHNE zurücklegen betrachten müssen, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten jedoch, da die Anzahl der Gesamtmöglichkeiten sich bei jedem Zug um eins verringert. Es liegt also kein Bernoulli-Versuch vor und wir können die Binomialverteilung nicht ansetzen!

Ich sehe auch keine sinnhafte Möglichkeit, den Versuch derart zu interpretieren, dass eine Binomialverteilung vorliegt. Bei Karten-Versuchen funktioniert das nur, wenn man die gezogene Karte wieder zurücklegt.