Question

Beweise die Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes

1.) \( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x+\int \limits_{b}^{c} f(x) d x=\int \limits_{a}^{c} f(x) d x \)

2.) \( \int \limits_{a}^{b} r \cdot f(x) d x=r \cdot \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \)

3.) \( \int \limits_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x+\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \)

4.) \( \int \limits_{a}^{a} f(x) d x=0 \)

Comments

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/stammfunktion-integral-und-flaechenberechnung/integrale/hauptsatz-der-differential-und-integralrechnung

das ist der hauptsatz. ich denke mal, dass du einfach annehmen darfst/musst, dass diese formel gilt. und das musst du doch mit hilfe von worten machen, oder?

Answer 1

(1) Sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). Dann gilt$$\int_a^bf(x)\,\mathrm dx+\int_b^cf(x)\,\mathrm dx=\big(F(b)-F(a)\big)+\big(F(c)-F(b)\big)$$ $$\quad=F(c)-F(a)=\int_a^cf(x)\,\mathrm dx.$$

Das hier ist noch die Nummer 2:

\( \int \limits_{a}^{b} r \cdot f(x) d x=[r \cdot F(b)-r \cdot F(a)]=r \cdot[F(b)-F(a)]=r \cdot \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \)

Es geht ja in deiner Aufgabe nur darum "wie komme ich von der linken Seite auf die rechte Seite der Gleichung". Zumindest interpretiere ich das so.

Also mach mit der Nummer 3 und 4 das gleiche und setzt einfach mal die Grenzen ein und schreib es auf.