Umformungsfrage zu einer Diagonalen

Question

die Aufgabe lautet:

Gesucht ist ein Rechteck mit der Diagonalen 15 cm, dass den größten Flächeninhalt hat.

Ansatz:

Zielfunktion: a*b = max!

Nebenbedingung √(a²+b²) = 15

Jetzt steh ich leider vor dem Problem, das ich nicht weiss, wie ich mit einer Wurzel umforme :<

Answer 1

Zielfunktion:

A = a*b

Nebenbedingung allgm:

a^2+b^2 = 225

a = √(225 - b^2)

Damit in die Zielfunktion:

A = √(225 - b^2)*b

A' = (225-2b^2)/√(225 - b^2)

A' = 0

225 - 2b^2 = 0

112,5 = b^2

b = 10,61

Damit in die obere Gleichung:

a = √(225 - b^2) = 10,61

Wir haben also ein Quadrat mit den Seitenlängen a = 10,61 cm.

Grüße

Comments

Ich danke vielmals, 20 Personen glücklicher gemacht :)

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Gleich so viele? Da habe ich ja meine gute Tat für heute erledigt :).

Freut mich wenn ich helfen konnte. Jetzt hoffe ich nur noch, dass es auch verstanden wurde. Aber bei so vielen Leuten wird ja min. einer dabei sein, der es dann im Bedarfsfall erklären kann. Sonst nochmals melden^^.

Answer 2

Zielfunktion: a*b = max! 

Nebenbedingung √(a²+b²) = 15 

Jetzt steh ich leider vor dem Problem, das ich nicht weiss,
wie ich mit einer Wurzel umforme :< 

√(a²+b²) = 15   | quadrieren
a^2 + b^2 = 225
b^2 = 225 - a^2
b  = √ ( 225 - a^2 )

F = a * b
F ( a ) = a * √ ( 225 - a^2 )
usw

Für Fortgeschrittene :
die Funktion
F = a * b  hat an derselben Stelle das Maximum wie
F^2 = ( a*b)^2 = a^2 * b^2
b^2 = 225 - a^2 ( siehe oben )

a^2 * ( 225 - a^2 )
225a^2 - a^4
ableiten
450 * a - 4 * a^3 = 0
a * ( 450 - 4 * a^2 ) = 0
a = 0  ( Minimum )
450 - 4 * a^2 = 0
a = 10.61 ( Maximum )

Noch weiter Fortgeschrittenen war klar :
das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat.

mfg Georg