Grenzwertberechnung, Prüfen der Musterlösung.

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Im Folgenden eine Rechnung zu den Grenzwerten:

Aufgabe 3: Grenzwertberechnung

Berechnen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{x+1}{3 x+2}\right)^{x^{2}}\right] \).

Lösung:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{x+1}{3 x+2}\right)^{x^{2}}\right]=\exp \left\{\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\frac{\ln (x+1)-\ln (3 x+2)}{\frac{1}{x^{2}}}\right]\right\} \)

\( \begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\frac{\ln (x+1)-\ln (3 x+2)}{\frac{1}{x^{2}}}\right] \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{3}{3 x+2}}{-\frac{2}{x^{3}}}\right) \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\frac{3 x+2-x-1}{-\frac{2}{x^{3}} *(3 x+2)(x+1)}\right] \\ \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+1}{\left.-\frac{6 x^{2}+10 x+4}{x^{3}}\right)} \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x^{4}+x^{3}}{-6 x^{2}-10 x-4}\right) \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{8 x^{3}+3 x^{2}}{-12 x-10}\right) \stackrel{D}{\rightarrow} \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{24 x^{2}+6 x}{-12}\right)\right. \\ \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{24 x^{2}+6 x}{-12}\right)=-\infty \\ \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{x+1}{3 x+2}\right)^{x^{2}}\right] = 0 \end{array} \)

In der zweiten Lösungszeile wird der Zähler ausmultipliziert, schon hier wird bei mir der Zähler und Nenner negativ und somit komme ich auf ein positives Unendlich und zwar -6x/-12...

Könnte es jemand durchrechnen und schauen, auf welches Ergebnis ihr kommt?

Noch eine Frage: Als Ergebnis in der Musterlösung steht "minus unendlich", dann wird auf darauf verwiesen, dass der Gesamtausdruck gegen null läuft, hier fehlt mir irgendwie die Verbindung?