partielle Ableitung (Interpretation)

Question

ich hab da eine Frage bezüglich dieser Aufgabe:

U(x1; x2) = 2 * x1^0,5 * x2^0,5

x1=0,25 (Kilogramm) --> Konsum von Erdnüssen

x2= 2,25 (Liter) --> Konsum von Bier

U --> Wohlfühlniveau in Punkten durch den Konsum von x1 und x2

U(0,25; 2,25) = 1,5 Punkte

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Meine Frage: Ist die untere Interpretation korrekt?

Interpretation:

Partielle Ableitungen nach x1:

∂ U / ∂ x1 = x1^-0,5 * x2^0,5

Wenn ich meinen Konsum von Erdnüsse, ausgehend von Niveau 0,25 kg Erdnüsse und 2,25 Liter Bier (U(0,25; 2,25)= 1,5 Punkte),  um 1KG c.p. erhöhe, so steigt mein Nutzen um 3 Punkte --> also hab ich einen Nutzen von 4,5 Punkten wenn ich 1kg Erdnüsse esse

Zweite partielle Ableitung nach x1:

∂² U / ∂ x1² = x1^-0,5 * x2^0,5

Wenn ich 1Kg Erdnüsse, ausgehend von Niveau 0,25kg Erdnüsse x1 und 2,25 Liter Bier,  esse, so sinkt mein Grenznutzen um 6 Punkte (= - 6 Punkte --> einsetzen von x1= 0,25 und x2= 2,25 in die zweite partielle Ableitung)

Ableitung beider unabhängigen Variablen :

∂  / ∂ x2 * (∂ U / ∂ 1) = 0,5x1^-0,5 * x2^-0,5

Wenn ich hier sowohl 1 Liter Bier als auch 1 Kg Erdnüsse esse ( es ist also nicht mehr c.p sondern die Erhöhung beider Größen), so steigt man Nutzen, ausgehend vom Nutzenniveau U(0,25; 2,25) = 1,5 Punkte, um 2/3 Punkte bzw. um 0,66 Punkte 

--> Ist diese Interpretation richtig oder sollte die letzte Interpretation so lauten:

Wenn man 1 Kg Erdnüsse isst ((∂ U / ∂ 1)), so steigt unser Nutzen, ausgehend vom Nutzenniveau U(0,25; 2,25) = 1,5 Punkte, um 3 Punkte auf 4,5 Punkte an. Wenn man nun auch noch 1 Liter Bier trinkt (∂  / ∂ x2), so steigt unser Nutzen, zusätzlich zu den 3 Punkten durch den Konsum von 1 Kg Erdnüssen, um 2/3 bzw. um 0,66 Punkte an -->

Also 4,5 Punkte (3+1,5) + 0,66 Punkte

Dankeschön an diejenigen, die sich die Mühe machen das alles hier zu lesen.

Lg

Comments

Du mußt zuvor aber noch den Nippel durch die Lasche
ziehen und dann weiter nach oben drehen.

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--> also hab ich einen Nutzen von 4,5 Punkten wenn ich 1kg Erdnüsse esse

Sind es nicht 1.25 kg Erdnüsse?

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Ja du isst zu den 0,25kg zusätzlich 1kg

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push - weiß hier niemand weiter :(

Ihr müsst nur die letzte Interpretation ansehen und sagen welche davon richtig ist :S falls es natürlich jemand versteht

Answer 1

$$ z(x,y) = 2 \cdot \sqrt x \cdot \sqrt y $$
$$ \frac {\partial z(x,y)}{\partial x} = \frac { \sqrt y }{ \sqrt x }$$
$$ \frac {\partial z(x,y)}{\partial y} = \frac { \sqrt x }{ \sqrt y }$$
$$ z(x_0,y_0,\Delta x,\Delta y) = 2 \cdot \sqrt x_0 \cdot \sqrt y_0 + \sqrt{ \left(\frac {\partial z(x_0,y_0)}{\partial x} \Delta x \right)^2 + \left(\frac {\partial z(x_0,y_0)}{\partial y}\Delta y \right)^2}$$
$$ z(x_0,y_0,\Delta x,\Delta y) = 2 \cdot \sqrt x_0 \cdot \sqrt y_0 + \sqrt{ \left(\frac { \sqrt y_0 }{ \sqrt x_0 } \Delta x \right)^2 + \left(\frac { \sqrt y_0 }{ \sqrt x_0 }\Delta y \right)^2}$$

Comments

Sorry - ich habe standardmässig mit der Fehlerrechnung weitergemacht - das ist aber hier ja Käse.

Die Näherung mit der Tangentialebene von einem Fixpunkt aus geht so:

$$ z(x_0,y_0,\Delta x,\Delta y) = 2 \cdot \sqrt x_0 \cdot \sqrt y_0 +  \frac { \sqrt y_0 }{ \sqrt x_0 } \Delta x  +\frac { \sqrt y_0 }{ \sqrt x_0 }\Delta y $$

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Das Ableiten hab ich schon richtig hinbekommen - mir gehts eher aber darum, ob das was ich daraus interpretiert habe richtig ist.

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Da ist dir wohl nicht aufgefallen, dass ich mich vertüdelt habe mit der einen Ableitung (copypaste-Fehler). richtig wäre so:

$$ z(x_0,y_0,\Delta x,\Delta y) = 2 \cdot \sqrt x_0 \cdot \sqrt y_0 +  \frac { \sqrt y_0 }{ \sqrt x_0 } \Delta x  +\frac { \sqrt x_0 }{ \sqrt y_0 }\Delta y $$

geometrisch handelt es sich um eine Ebene , die durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren bestimmt ist.

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Also wenn ich nach x1 ableite so hab ich den partiellen Grenznutzen

und wenn ich danach die partielle Ableitung von x1 nach x2 ableite so weiß ich dann, wie stark sich der Grenznutzen bezüglich des Konsums von 1 Kg Erdnüssen (x1) ändert, wenn ich 1 Liter Bier zu den 2,25 Litern trinke ?

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Die zweiten Ableitungen braucht man eigentlich für die Hesse- Matrix. Damit kann man bestimmen, ob die Nullstellen der ersten Ableitungen Max, Min , Sattel oder nicht näher bestimmbar sind.

Wenn du wissen willst, ob Erdnüsse oder Bier pro konsumierter Masse in Kilogramm zufriedener machen, dann sieht das so aus:

$$ z(x_0,y_0,\Delta x,\Delta y) = 2 \cdot \sqrt x_0 \cdot \sqrt y_0 +  \frac { \sqrt y_0 }{ \sqrt x_0 } \Delta x  +\frac { \sqrt x_0 }{ \sqrt y_0 }\Delta y $$
$$x_0=\frac14$$$$y_0=\frac94$$
$$ z(\frac14,\frac94,\Delta x,\Delta y) = 2 \cdot \sqrt \frac14 \cdot \sqrt \frac94 +  \frac { \sqrt \frac94 }{ \sqrt \frac14 } \Delta x  +\frac { \sqrt \frac14 }{ \sqrt \frac94 }\Delta y $$
$$ z(\frac14,\frac94,\Delta x,\Delta y) = 2 \cdot  \frac12 \cdot  \frac32 +  \frac { \frac32 }{ \frac12 } \Delta x  +\frac {  \frac12 }{  \frac32 }\Delta y $$
$$ z(\frac14,\frac94,\Delta x,\Delta y) =   \frac32 +  3 \cdot  \Delta x  + \frac13 \cdot \Delta y $$

Bei einem anderen Ausgangspunkt bereits konsumierter Nüsse und Bier kann die Effektivität des jeweiligen Genussmittels anders gelagert sein.