Beweis Konvergenz von Folgen mit Brüchen

Question

Seien \( \left\{a_{n}\right\} \) und \( \left\{b_{n}\right\} \) Folgen positiver reeller Zahlen mit

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=c>0 \)

Zeigen Sie, dass \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) genau dann konvergiert, wenn \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \) konvergiert.

Als Hinweis hab ich nur, dass ich die Defintion einer konvergenten Folgen sowie das Majorantenkriterium benutzen soll....

Answer 1

wegen der Konvergenz von a_n/b_n liegen die Folgenglieder von einem
gewissen n_o an z.B. alle zwischen 0,8*c und 1,25*c, also
0,8*c <    a_n/b_n    < 1,25*c
Da alles positiv ist also auch
0,8*c*b_n <    a_n    < 1,25*c *b_n      [#]

Sei nun die Reihe mit den a_n konvergent, dann gilt von no an
(die ersten endlich vielen sind für die Konvergenz unerheblich)
0,8*c*b_n <    a_n   |: 0,8c
          b_n < ( 1,25/c) * a_n
und damit ist die Reihe der ( 1,25/c) * a_neine Majorante und
da man die ( 1,25/c) aus der Summe herausziehen kann ist die
Majorante auch konvergent  und damit auch die Reihe der  b_n  konvergent.

Sei nun die Reihe der  b_n  konvergent dann erhältst du mit dem 2. Teil

der Ungleichung # eine konvergente Majorante für a_n