Differentialgleichungssystem

Question

Ich sitze vor noch einer DGL-Aufgabe.

Ich muss alle Lösungen von :
x' = (3t-1)x-(1-t)y+te^{t^2}
y'= -(t+2)x+(t-2)y - e^{t^2}

Bestimmen.
Als Tipp habe ich gegeben,dass das homogene System die Lösung (x(t),y(t)= (Φ(t), - Φ(t) ) besitzt.

Ich kann leider nicht viel mit dem Tipp anfangen, weil ich nicht weiß,wie man so ein System für gewöhnlich auflöst.

Also Homogen würde ich ja:

x' =(3t-1)    -(1-t) *     x
y' = -(t+2)    (t-2) *      y

erhalten. ( Irgendwie hat die Matrixschreibweise nicht funktioniert. (x' , y') ist Zweidimensional und (x,y) auch. Dazwischen steht die Matrix A)
Wie löse ich sowas auf?
Wäre cool,wenn mir jemand eine Anleitung für sowas geben könnte.

Gruß,
Marvin

Comments

Rein zufällig habe ich die selbe Aufgabe :P Hab sie nur versucht als noch der falsche Tipp da war, aber das Vorgehen müsste dann jetzt funktionieren:

Wegen dem Tipp kannst du z.B. in der ersten Gleichung \(x=\phi\) setzen und entsprechend \(y=-\phi\). Dann erhältst du eine lineare DGL (beachte aber, dass du in die homogene Gleichung einsetzst!!). Die kannst du leicht lösen. Dann hast du eine Lösung \((x(t),y(t))\). Dann brauchst du eine dazu linear unabhängige Lösung der homogenen DGL. Diese findest du, indem du die Wronskideterminante betrachtest und den Satz von Liouville benutzst. Mit den Dingen kannst du dir dann eine neue DGL basteln, die du lösen kannst, um eine linear unabhängige Lösung zu finden. Dann hast du eine Fundamentalmatrix und kannst Variation der Konstanten anwenden, um eine partikuläre Lösung zu finden.

Ein allgemeines Vorgehen gibt es bei linearen DGL-Systemen nur, wenn die Koeffizienten (die Matrix \(A\)) konstant sind. Dann löst man die homogene Gleichung mit dem Matrixexponential bzw. den Eigenwerten und Hauptvektoren. Das inhomogene System löst man dann auch mit Variation der Konstanten.

---

Ja,wahrscheinlich weil du auch an der Uni Köln studierst ? :D

Ich werde mir das morgen nochmal genau angucken, danke.

Liouville habe ich noch nicht verstanden ganz. Aber mal schauen.