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Hallo .

Ich habe folgendes Gleichungssystem :
$$x'(t)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}x(t)+\begin{pmatrix} t{ e }^{ { t }^{ 2 }+t } \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$


Mir ist klar,das zunächst einmal die eine Homogene Lösung betrachtet wird.

Also bestimmt man Eigenwerte und Eigenvektoren  der Matrix A. (x'=Ax)

Eigenwert ist 1 mit algebraischer Vielfachheit 3.

Jedoch gibt es nur zwei Eigenvektoren (0,1,1)^T und (1,0,0)^T .

In der Lösung steht nun,dass ein verallgemeinterte Eigenvektor gefunden werden muss.

Normal macht man das doch indem man Ker(A-Lambda*E )^2 betrachtet oder nicht?


In den Lösungen ist nämlich folgender Ansatz:
Man betrachte :
$$y(t)\quad =\begin{pmatrix} { a }_{ o }+{ a }_{ 1 }t \\ { b }_{ o }+b_{ 1 }t \\ { c }_{ o }+{ c }_{ 1 }t \end{pmatrix}*{ e }^{ t }$$

Nun setzt man y(t) in die Dgl ein und löst die Koeffizienten auf,sodass man :
$$y(t)\quad =\begin{pmatrix} { a }_{ o }+{ (b }_{ o }-{ c }_{ o })t \\ { b }_{ o } \\ { c }_{ o } \end{pmatrix}*{ e }^{ t }$$

Erhält.

Hierraus lässt sich anschließend die Fundamentalmatrix :
$$Y(t)\quad =\begin{pmatrix} 1 & t & -t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}*{ e }^{ t }$$


bestimmen.


Meine Frage ist nun: Wie kommt man aus dem,was man mit dem Ansatz berechnet hat auf die Fundamentalmatrix ? Deweiteren: Ich könnte mir doch auch einen verallgemeinerten Eigenvektor aus ker(A-LamdaE)^2 bestimmen und dann damit die Matrix auf Jordan-Normalform bringen und dann e^A betrachten oder nicht?


Den weiteren Weg anschließend verstehe ich.

Avatar von 8,7 k

Sind in den Ansatz einfach die drei Einheitsvektoren eingesetzt worden ?Wenn ja,warum?

1 Antwort

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Das ist so ähnlich wie beim Lösen von Gleichungssystemen, wo du unendlich viele Lösungen hast. Da kriegst du ja auch teilweise so etwas wie z.B.

$$ (s-u, s, u)^T $$

oder so raus und kannst in diesem Fall (weil du zwei Variablen hast) zwei linear unabhängige Basisvektoren des Lösungsraums finden. Das kannst du z.B. tun, indem du erst u=0 und s=1 und anschließend s=0 und u=1 setzt.


Bei dem DGL-System oben ist es im Prinzip genauso. Du bekommst die Kandidaten für die Lösungen:

$$ y(t) = \begin{pmatrix} a_0 +(b_0 - c_0)t  \\  b_0\\   c_0 \end{pmatrix} \cdot e^t$$

Die Parameter kannst du ja wählen wie du willst.

Und wenn du jetzt wie oben beschrieben erst mal \( c_0 = b_0 = 0\) setzt und \( a_0 = 1\), so kriegst du

$$ \varphi_1 (t) = \begin{pmatrix} 1  \\  0\\  0 \end{pmatrix} \cdot e^t $$

und analog als weitere Lösungen

$$  \varphi_2 (t) = \begin{pmatrix} t  \\  1  \\   0 \end{pmatrix} \cdot e^t $$

$$ \varphi_3 (t) = \begin{pmatrix} -t  \\ 0\\  1 \end{pmatrix} \cdot e^t $$

und die sind alle drei linear unabhängig und lösen das DGL-System mit drei Gleichungen (d.h. Lösungsraum hat dim 3) also ist \( \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 \) ein Fundamentalsystem und damit ist \( \Phi (t) = ( \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 ) \) eine Fundamentalmatrix.

Interessanterweise kriegt man so als Fundamentalmatrix genau das Matrixexponential und wenn man dann Variation der Konstanten macht ist dies leicht zu invertieren, einfach \( t \) durch \( -t \) ersetzen (wie in der Musterlösung). Ich hab bei der Aufgabe mit Hauptvektoren und dieser Summenformel gearbeitet (also kein Matrixexponential berechnet) und habe eine etwas andere Fundamentalmatrix, die etwas ekelhafter zu invertieren ist. Über die Jordannormalform kannst du aber auch das Matrixexponential  \( e^{tA} \) berechnen und das ist dann deine Fundamentalmatrix.


Avatar von 1,7 k

Also einfach a0 ,b0 ,c0 so wählen.dass ich 3 linear unabhängige Lösungen habe?
Danke.

Jo einfach immer einen gleich 1 (oder eine andere Zahl, sodass das Ergebnis schön aussieht) setzen und die anderen 0. Das machst du mit jedem Parameter ein mal, also setzt jeden ein mal 1 und alle anderen 0.

Und der Ansatz ,ist einfach der ganz normale,den man macht, wenn man den selben Eigenwert hat?
Oder wo kommt der Ansatz her?

Man kriegt ja raus, dass es nur einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 3 und geometrischer Vielfachheit 2 gibt (2 Eigenvektoren). Daher kommt dann dieser polynomielle Ansatz. Das Grad vom Polynom ist ja hier 1, das ist immer die Differenz von algebraischer und geometrischer Vielfachheit. Diesen Ansatz müsste man, wenn man mehrere Eigenwerte und keine Eigenvektorbasis hat, für jeden Eigenwert durchziehen. Vielleicht hilft dir beim Verständnis auch 4.2.8 von

http://www.mi.uni-koeln.de/~flapp/Skript12-02und04.pdf

auf Seite 3. Mit diesem Satz hab ich so Systeme bis jetzt immer gelöst, werde aber in Zukunft den Ansatz aus der Musterlösung nutzen.

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