+1 Punkt
217 Aufrufe

dass die Funktion $$ ƒ:[0,1]→ℝ,x↦x $$ Riemann-integrierbar ist.

Definition:
$$ Sei\quad f : [a, b] → ℝ \quad eine\quad beschränkte\quad Funktion.\quad Diese\quad Funktion\quad heißt\quad Riemann-integrierbar,\quad wenn\quad folgendes\quad gilt: $$
$$ \int_{a}^{b*}f(x)dx=\int_{a*}^{b}f(x)dx. $$
Den gemeinsamenWert bezeichnet man mit a
bf(x)dx und nennt ihn (bestimmtes) Integral von ƒ über [a,b].

Gefragt von

Vom Duplikat:

Titel: f : [0 , 1] ! R , x 7! x , Riemann-integrierbar

Stichworte: analysis,integration,riemann,integral

Bild Mathematik 

11.8:

Bild Mathematik

Könnte mir einer dabei bitte helfen, ich komme nicht wirklich weiter und mein Ansatz war nicht der Beste...

Ein kleiner Nachtrag:Bild Mathematik

EDIT: Bitte eine Frage / Frage, passende Überschrift und Tags https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

Was genau möchtest du wissen? Wie soll deine Überschrift gelesen / interpretiert werden? 

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort
Für jedes n nehmen wir die Partition $$\mathcal{P}_n=\{0 < \frac{1}{n}<\frac{2}{n}< \dots < \frac{n-1}{n}<1\}$$ 
Dann $$\mathcal{U}(f, \mathcal{P}_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\left ( \frac{k+1}{n}-\frac{k}{n} \right ) \cdot \sup f \left ( \left [ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right ] \right )=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\frac{k+1}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}$$ 
$$\mathcal{L}(f, \mathcal{P}_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\left ( \frac{k+1}{n}-\frac{k}{n} \right ) \cdot \inf f \left ( \left [ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right ] \right )=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\frac{k}{n}=\frac{(n-1)n}{2n^2}$$ 

Also $$\frac{n-1}{2n}=\mathcal{L}(f, \mathcal{P}_n) \leq \underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f \leq \mathcal{U}(f, \mathcal{P}_n)=\frac{n+1}{2n}$$ 
Wir nehmen den Grenzwert und haben folgendes $$\underline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^b} f =\frac{1}{2}$$
Beantwortet von 5,6 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Vielen vielen Dank.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...