Beweisen Sie mit folgender Definition:… , dass f(x):= x Riemann-integrierbar ist

Question

dass die Funktion $$ƒ:[0,1]→ℝ,x↦x$$ Riemann-integrierbar ist.

Definition:
$$Sei\quad f : [a, b] → ℝ \quad eine\quad beschränkte\quad Funktion.\quad Diese\quad Funktion\quad heißt\quad Riemann-integrierbar,\quad wenn\quad folgendes\quad gilt:$$
$$\int_{a}^{b*}f(x)dx=\int_{a*}^{b}f(x)dx.$$
Den gemeinsamenWert bezeichnet man mit _a∫^bf(x)dx und nennt ihn (bestimmtes) Integral von ƒ über [a,b].

Comments

Vom Duplikat:

Titel: f : [0 , 1] ! R , x 7! x , Riemann-integrierbar

Stichworte: analysis,integration,riemann,integral

11.8:

Könnte mir einer dabei bitte helfen, ich komme nicht wirklich weiter und mein Ansatz war nicht der Beste...

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Ein kleiner Nachtrag:

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EDIT: Bitte eine Frage / Frage, passende Überschrift und Tags https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Was genau möchtest du wissen? Wie soll deine Überschrift gelesen / interpretiert werden?

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Die Antwort: https://www.mathelounge.de/195437/beweisen-sie-mit-folgender-definit…

Answer 1

Für jedes n nehmen wir die Partition $$\mathcal{P}_n=\{0 < \frac{1}{n}<\frac{2}{n}< \dots < \frac{n-1}{n}<1\}$$
Dann $$\mathcal{U}(f, \mathcal{P}_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\left( \frac{k+1}{n}-\frac{k}{n} \right) \cdot \sup f \left( \left [ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right ] \right)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\frac{k+1}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}$$
$$\mathcal{L}(f, \mathcal{P}_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\left( \frac{k+1}{n}-\frac{k}{n} \right) \cdot \inf f \left( \left [ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right ] \right)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\frac{k}{n}=\frac{(n-1)n}{2n^2}$$ 

Also $$\frac{n-1}{2n}=\mathcal{L}(f, \mathcal{P}_n) \leq \underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f \leq \mathcal{U}(f, \mathcal{P}_n)=\frac{n+1}{2n}$$
Wir nehmen den Grenzwert und haben folgendes $$\underline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^b} f =\frac{1}{2}$$