Anfangswertproblem DGL y´=-ky

Question

ich sitze an einigen Aufgaben zu Differenzialgleichungen, an der ich einfach nicht weiter komme. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand das Vorgehen anhand dieser Aufgabe erklären könnte, die auf meinem Zettel als einfachste angegeben ist:

Löse das Anfangswertproblem, das durch die DGL:

y´=-ky ; k>0

und die Randbedingung y(t=0)=y₀ gegeben ist. Auf welchem Intervall ist die Lösung eindeutig definiert?

Answer 1

$$y'=-ky \Rightarrow \frac{dy}{dt}=-ky \Rightarrow \frac{1}{y}dy=-kdt \Rightarrow \int \frac{1}{y}dy=-\int k dt \\ \Rightarrow \ln |y|=-kt+c \Rightarrow e^{\ln |y|}=e^{-kt+c} \Rightarrow |y|=e^{-kt} e^c \\ \Rightarrow y=\pm e^c e^{-kt} \overset{ A=\pm e^c}{ \Longrightarrow } y=Ae^{-kt}$$

$$y(t)=Ae^{-kt}$$
Für t=0 haben wir folgendes:

$$y(0)=Ae^0 \Rightarrow A=y_0$$
Also $$y(t)=y_0e^{-kt}, k>0$$