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Für wesentliche Singularitäten sind alle a_k der Laurentreihe ungleich null (für negative k).

Zudem ist das Residuum als Glied a_-1 definiert und es gilt res(f,0)=0.

Warum sind diese beiden Aussagen verträglich? In meinen Augen ist dies ein Widerspruch, aber laut verlässlichen Quellen muss es sich um eine wesentliche Singularität handeln.

Behandelt wird die Funktion f(z)=z*sin(1/z) mit z Element aus C.

 

Die Zeit drängt, um schnelle Antwort wird gebeten.  
von

1 Antwort

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Beste Antwort

Deine Definition für wesentliche Singularitäten ist nicht richtig!
 

Für wesentliche Singularitäten sind nicht alle ak ungleich 0, sondern "nur" unendlich viele.

Die formale Definition lautet:

Sei f(z) = Σk=-ak (z-z0)k die Laurentreihe von z. Dann heißt z0 wesentliche Singularität von f, wenn gilt

∀k0<0∃k<k0: ak ≠ 0

 

Nun ist die Laurentreihe der Funktion leicht zu bestimmen, indem man in die Taylorreihe von sin(u) einfach u = 1/x einsetzt:

x*sin(1/x) = x*(1/x - 1/(3!*x3) + 1/(5!*x5) ± ... )

x*sin(1/x) = (1 - 1/(3!*x2) + 1/(5!*x4) ± ... )

Man sieht also, dass alle x-k mit geradem k∈ℕ∪{0} ungleich 0 sind, während alle mit ungeradem k 0 sind. Daraus folgt insbesondere auch, dass das Residuum verschwindet, was bei näherer Betrachtung aber nur bedeutet, dass das Kurvenintegral der Funktion um den Nullpunkt verschwindet.

von 10 k
Achso, der Unterschied zwischen "alle" und "unendlich viele" a_k war mir nicht klar!

 

Demzufolge muss auch gelten, dass g(z)=z*cos(1/z) über eine wesentliche Singularität in z=0 verfügt, nur dass dieses Mal alle x^-k mit geradem k Null sind?

 

Kannst du eventuell ein Beispiel für eine Funktion/Reihe mit hebbarer Singularität geben, bei der man deutlich sieht, dass ALLE a_k für negative k Null sind?

 

Deine Antwort hat mir bereits sehr geholfen!

Deine Schlussfolgerung für g(z) ist richtig.

 

Ein Beispiel für eine Funktion mit hebbarer Singularität ist

h(z) = sin(z)/z

Auf die gleiche Weise wie vorher erhält man die Laurentreihe um x=0:

h(z) = 1 - z2/3! + z4/5! ± ...

 

Im Grenzwert z gegen 0 ergibt sich ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0, aber an der Laurentreihe lässt sich ablesen, dass der Grenzwert 1 lautet.

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