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Halli

in unserer Probeklausur hatten wir die Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und x,y∈G mit x3=e und y3=xyx-1. Beweisen Sie, dass y26=e.

Ich habe die Aufgabe in der Probeklausur nicht hinbekommen und probiere die nun die ganze Zeit.

Ich habe angefangen mit

y26=y3y3y3y3y3y3y3y3y3y-1 (also y27y-1)

und dann weiter umgestellt, so dass ich zum Schluss noch

...=yx-1x-1x-1y-1

habe. Nun weiß ich leider nicht weiter. Habe ich falsch angefangen? Ich habs auch schon mit (y24yy) und

(y30y-1y-1y-1y-1) probiert, aber da kam ich auch nicht zum Ergebnis.

Kann mir da vielleicht einer helfen und sagen, welcher Ansatz richtig ist bzw. wie ich weiter machen muss?

 

Danke

von
Soll e in der Aufgabe ein Neutrales Element sein? Irgendwie geht das nicht deutlich aus der Aufgabe hervor?

2 Antworten

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Beste Antwort

Du hattest ja gesagt, du wärest bereits bei

... = yx-1x-1x-1y-1

angekommen, dann mache ich von da mal weiter.

Wegen

(a b) (b-1 a-1) = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 = e

gilt

(a b)-1 = b-1 a-1

in jeder Gruppe!

Daraus folgt insbesondere:

x-1x-1x-1 = (x x)-1 x-1 = (x (x x))-1 = (x3)-1 = e-1 = e

Damit folgt aus deinem Ausdruck:

yx-1x-1x-1y-1 = y e y-1 = y y-1 = e

 

von 10 k
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y^26 = e
y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^3·y^{-1} = e
x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·y^{-1} = e
x·y·y·y·y·y·y·y·y·y·x^{-1}·y^{-1} = e
x·y^3·y^3·y^3·x^{-1}·y^{-1} = e
x^2·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x·y·x^{-1}·x^{-1}·y^{-1} = e
x^2·y·y·y·x^{-2}·y^{-1} = e
x^2·y^3·x^{-2}·y^{-1} = e
x^2·x·y·x^{-1}·x^{-2}·y^{-1} = e
x^3·y·x^{-3}·y^{-1} = e
y·x^{-3}·y^{-1} = e

Bis hierhin hattest du ja auch alles so

y·x^{-3}·y^{-1} = e
y·x^{-3} = y
x^{-3} = e
e = x^3
e = e

w.z.b.w.

von 420 k 🚀

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