stammfunktion einer E-funktion

Question

könnte mir jemand bitte die stamfunktion von f(x) = 2x *  e- 0.25·x^2 den rechenweg zeigen ?

dankeshcön im voraus.

Comments

die Substitution z=x^2 hilft.

Wenn man damit fertig ist, sollte man sich das Ergebnis anschauen und bemerken, dass man die Lösung auch durch scharfes Hinsehen angeben kann.

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danke, das ergbnis habe ich :)

Answer 1

Da machst du am besten mit der Substitutionsregel:
$$\int { 2x*{ e }^{ -0,25*{ x }^{ 2 } } } dx=-4*\int { -0,5x*{ e }^{ -0,25*{ x }^{ 2 } } } dx$$
Jetzt hast du ein Integral von der Art $$\int { f'(x)*{ e }^{ f(x) }dx } $$
und da ist ja eine Stammfunktion  e^f(x) .
Also bei dir  F(x) = -4*  e^{- 0.25·x hoch 2}   + C

Answer 2

In der Stammfunktion muß eine e-Funktion sein.
Ich gehe meist umgekehrt vor und probiere
[ e^{ -0.25*x^2} ] ´= e^{ -0.25*x^2} * ( -0.25*2*x)
e^{ -0.25*x^2} * ( -0.5*x)
gewünscht wird anstelle -0.5*x  -> 2 * x
also mal ( - 4 ) nehmen

Stammfunktion
( - 4 ) * e^{ -0.25*x^2}

Kann durch 1 maliges ableiten verifiziert werden.

mfg Georg