0 Daumen
140 Aufrufe

Aufgabe:

Was ist eine mögliche Stammfunktion zur Ableitung f(x) = 5*x*e^-x^2

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du kannst den Integranden so umschreiben$$I=\int5x\cdot e^{-x^2}\,dx=\left(-\frac52\right)\int(-2x)\cdot e^{-x^2}\,dx$$dass die Ableitung \((-2x)\) von \((-x^2)\) als Faktor im Integranden auftaucht. Daher bietet sich die folgende Substitution an:$$u\coloneqq -x^2\implies\frac{du}{dx}=-2x\implies dx=-\frac{du}{2x}$$Das Integral wird dadurch zu:$$I=-\frac52\int (-2x)\cdot \underbrace{e^u}_{=e^{-x^2}}\cdot \underbrace{\left(-\frac{du}{2x}\right)}_{=dx}=-\frac52\int e^{u}\,du=-\frac52e^{u}+\text{const}=-\frac52e^{-x^2}+\text{const}$$

Avatar von 151 k 🚀

Vielen Dank!

Man braucht hier gar nicht zu substituieren.

Man muss nur überlegen: -2x* z = 5

-> z = 5/-2

F(x) = -5/2*f(x) +C

Also wenn man nicht schon weiß, was du mit deinem (für unwissende Fragesteller) ominösen z ausdrücken willst, ist das nicht gut erklärt.

Zumal \(-2x\cdot \frac{5}{-2}\neq 5\) ist. ;) Zumindest für \(x\neq 1\).

0 Daumen

Alternativ:

Eine Stammfunktion hat die Gestalt \(F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x^2}\).

Ableiten mit der Produktregel ergibt

\(F'(x)=f(x)=a\mathrm{e}^{-x^2}-2x(ax+b)\mathrm{e}^{-x^2}=(-2ax^2-2bx+a)\mathrm{e}^{-x^2}=5x\mathrm{e}^{-x^2}\).

Ein Koeffizientenvergleich liefert jetzt \(a=0\) und \(b=-\frac{5}{2}\) und damit

\(F(x)=-\frac{5}{2}\mathrm{e}^{-x^2}+C\).

Avatar von 15 k

Dankeschön! Hat mir sehr geholfen.

Also wenn man nicht schon weiß, was du mit deinem (für unwissende Fragesteller) ominösen z ausdrücken willst, ist das nicht gut erklärt.

Ich wollte nicht ausführlich erklären, sondern zum Nachdenken anregen, was hier nicht so schwer sein sollte.

Auf den Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung hatte Tschakabumba schon hingewiesen.

Der Rest ergibt sich aus dem Kontext.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community