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Habe hier 5 verschiedene Reihen und soll sie auf Konvergenz untersuchen.
Bräuchte jetzt ein paar Denk anstöße in Bezug aufs vorgehen und welche Regeln oder Gesetze man anwenden könnte.

1.) n=1(3)nexp(n)\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( -3 \right) }^{ n }*exp(-n) }

2.)n=11n3+1\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ \sqrt { { n }^{ 3 }+1 } } }

3.)n=12n1n2\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 2n-1 }{ { n }^{ 2 } } }

4.)n=1n2exp(n)\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ exp(n) } }

5.)n=1(2)nexp(n)\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-2) }^{ n }exp(-n) }

Bei 2.) Würde ich z.b das Minorantenkriterium benutzen , aber ich weiß nicht genau auf was ich abschätzen muss.
Bei 1) und 5) vlt. das Leibnizkriterium auch wen hier keine (-1)^n ist. exp(-n) ist eine Nullfolge oder?

Wäre dankbar für jede Anregung.

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bei 1) besser Quotientenkrit.

Betrag von (an+1 / an ) untersuchen gibt
((-3)^{n+1} * e^{-n-1} ) /   (  (-3)^n * e^{-n} )
kürzt sich vieles weg und wegen Betrag ist auch das minus weg

3 * e^{-1} = 3/e und weil e<3 ist, ist das >1 also Reihe divergent.

auch bei 2)

(1 / wurzel((n+1)^3 +1) )  /   ( 1 / wurzel( n^3 +1 )
=  wurzel( n^3 +1 ) /  wurzel((n+1)^3 +1)
= wurzel (  (n^3+1) / ((n+1)^3 + 1) )
und in der Wurzel das ist immer kleiner als 1 also auch die wurzel, also Reihe konvergent.

Ich glaub die anderen gehen auch so ähnlich.
Avatar von 289 k 🚀

danke erstmal für die Tipps.
Ich versuch die anderen Aufgaben dann auch mal auf die Weise.

Kannst du mir erklären, warum die 1.) Reihe divergent ist weil  3/e>1 ist und die 2.) Konvergent weil wurzel<0 ?
Ich dachte konvergent ist, wenn die Folge der Partialsumme gegen einen Wert strebt, und divergent wenn sie gegen unendlich oder -unendlich geht.


ah sorry. Das besagt ja die Qoutientenregel. Allerdings haben wir nur definiert das eine Reihe absolut konvergent ist, wenn Betrag von (an+1 / an )<=q<1 ist.
Gilt dann auch automatisch das eine Reihe divergent ist wen Betrag von (an+1 / an )>1 ?

Ja, das gilt auch.

könntest du sagen wann es besser ist das quotientenkriterium anzuwenden ?

z.b. ∑n=1 bis unendlich (sin(n2+1)/n2+1) kann man das quotientenkriterium hier anwenden?

hier würde ich eher auf Majorante tippen, denn du kannst

ja immer | sin(n2+1) | <=1 abschätzen.

und die Reihe mit 1 / (n2 +1) kannst du dann mit dem Q-kriterium bearbeiten.

das ist ja dann >1 oder? also divergiert die reihe oder?

Ein anderes Problem?

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