Question

Bestimmen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe der Regel von de l'Hospital:

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{\ln (x)}{x-1}+\frac{\sin (x-1)}{1-x}\right) \),

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\cot (x)-\frac{1}{\sin (x)}\right) \),

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln (x)}\right) \).

Answer 1

a)  ln(x) / (x-1)  - sin(x-1) / (x-1)

=   (ln(x) - sin(x-1) ) / (x-1)   wieder Typ 0/0

also

( 1/x   - cos(x-1) )  / 1   für x gegen 1 also (1 - 1 )/ 1 = 0

b) cot(x) =(cos(x)/sin(x) = (cos(x) -1)/sin(x)

also Grenzwert vom Typ 0/0

mit D ' Hospital Ableitung von Zähler und Nenner einzeln bilden:

-sin(x)    /   cos(x)     und jetzt für x gegen 0 gibt es 0/1 = 0

c) (ln(x) -(x-1))/((x-1) *ln(x))     s.o.

(1/x     -   1 )  /     (   x-1)*(1/x) + 1*ln(x) )

= (1/x     -   1 )  /    1-(1/x) + 1*ln(x) )

= ( 1 - x )   /   ( x - 1 + x*ln(x) )  wieder Typ 0/0 also nochmal

-1  /    ( 1 + 1*ln(x) + x*(1/x) 

= -1 /  (2 + ln(x) ) für x gegen 1 gibt das   -1/2

Comments

bei c) steht doch aber 1+1*ln(x) macht das nicht im Nenner dann 2*ln(1) was 0 ergeben würde??

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meinst du diesen Nenner:

   1 + 1*ln(x) + x*(1/x) 

=    1 + 1*ln(x) + 1 

=    1 + ln(x) + 1    Punkt vor Strich !

= 2 + ln(x)