WIe leite ich die Gesamtbarwertformel nach "n" auf?

Question

Die Aufgabe lautet: Herr Schmidt hat unglücklicherweise sein gesamtes Firmenvermögen in Öl investiert. Um die Löhne seiner Mitarbeiter zu zahlen, nimmt er ein Darlehen in Höhe von 150.000€ auf. Die Bank verlangt 6% Zinsen pro Jahr. Die Rückzahlung erfolgt jährlich in gleich hohen Raten a jeweils am Jahresende. Wenn nach der letzten Zahlung a eine Restschuld verbleibt, die kleiner als a ist, wird diese zusammen mit der letzten Zahlung fällig.
a) Wie lange dauert die Abzahlung des Kredits bei jährlich 25.000€ Zahlung?
Die Gesamtbarwertformel lautet: P= a/r (1−   1/(1+r)ⁿ))


Nun lautet meine Frage an euch, wie stelle ich diese Formel nach "n" um? Damit ich die Dauer der Abzahlung herausfinden kann.

Answer 1

P= a/r (1−   1/(1+r)ⁿ))    | : a/r
P*r / a  =  1 -  1 / (1+r)^n   | -1

(P*r / a)   - 1  =  -1 / (1+r)^n | * - 1
1 -   (P*r / a)  =   1 / (1+r)^n  jetzt logarithieren
ln( 1 -   (P*r / a)) =    ln ( 1 / (1+r)^n  )      wegen ln(1/x) = - ln(x)
ln( 1 -   (P*r / a)) =  -   ln ( (1+r)^n  )     wegen ln ( x^n ) = n* ln(x)

ln( 1 -   (P*r / a)) =  - n *  ln (1+r)  | :  - ln(1+r)

- ln( 1 -   (P*r / a)) /  ln(1+r) = n

Comments

Danke für die schnelle Antowrt, jedoch habe ich eine Frage und zwar betrifft es die dritte Zeile. Wieso machst du als Gegenbefehl "-1" , ich dachte, dass man den Nenner eines Bruches nur in der Multiplikation umstellen kann 

:/. Noch eine Kleinigkeit, was ist denn der genaue Unterschied zwischen log und ln auf dem Taschenrechner? Macht das einen Unterschied, wenn ich log oder ln nutze?

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Beim Übergang von der 3. zur 4. Zeile wollte ich das - Zeichen vor

dem Bruch auf der rechten Seite los werden.  Also alles mal -1,

dann ist es rechts weg und links dreht sich die Differenz rum.

welchen log du benutzt ist egal.