0 Daumen
1,3k Aufrufe

Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 \mathbb{R}^{2} mit dem Standardskalarprodukt

<x,y>=x1y1+x2y2 < \vec{x}, \vec{y}> = x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}

und die Matrix-Abbildung

A : R2R2[x1x2]+A[x1x2] mit A=[a11a12a21a22] \begin{array}{l} A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ \quad\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]+A\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \quad \text { mit } A=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] \end{array}

Sei

b=[45] \vec{b}=\left[\begin{array}{c} -4 \\ 5 \end{array}\right]

Berechnen Sie die Koeffizienten a11,a12,a21,a22R a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb{R} , sodass

1. der erste Spaltenvektor der Matrix A A die Länge 1 hat und in dieselbe Richtung zeigt wie b \vec{b} und

2. die Matrix-Abbildung A A orthogonal ist.

(Rechnen Sie mit den exakten Werten, d.h. verwenden Sie beisplelsweise für die Wurzel der Zahl 2 den Ausdruck 2 \sqrt{2} und nicht einen gerundeten Wert wie z. B. 1.41)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

So könnte man schon mal anfangen:
(a11a21)=b1b \begin{pmatrix} a_{11}\\a_{21} \end{pmatrix} = \vec b \cdot \frac1{|\vec b|}

Avatar von

also wäre das (-4 5) * 1/wurzel(41) ?

muss ich dann für (a12 a22) das gleiche machen?

zwei von den vier Elementen haben wir ja nun - die anderen beiden müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:


https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

Als möglicher Vergleich - falls du sowas schon mal bewusst gemacht haben solltest - ist die Senkrechte auf einer Geraden in der Ebene, deren Steigung sich durch den negativen Kehrwert der Steigung der Ausgangsgeraden bestimmen lässt

also spalte 1.:  (-4/wurzel(41)  5/wurzel(41))

        spalte 2: (5/wurzel(41)  4/wurzel(41))

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage