Wieso wendet man bei der Rücktransformation den Dämpfungssatz an? (Laplace, quadratische Ergänzung)

Question

Wieso wendet man bei der Rücktransformation den Dämpfungssatz an?

$\frac{1}{s^{2}+2 s+5}$

Quadratische Ergänzung (s+1)+4

Answer 1

Hi,
die Laplacetransformierte von $$sin(\beta t)$$ ist $$\frac{\beta}{s^2+\beta^2}$$
Mit dem Dämpfungssatz folgt,
$$\mathcal {L \left\{ e^{-\alpha t} sin(\beta t) \right\} } = \frac{\beta}{(s+\alpha)^2+\beta^2}$$
Mit  $\alpha = 1$ und $\beta = 2$ folgt
$$\mathcal {L \left\{ e^{-t} sin(2t) \right\} } = \frac{2}{(s+1)^2+4}$$ Also ist
$$\mathcal {L \left\{ \frac{1}{2} e^{-t} sin(2t) \right\} } = \frac{1}{(s+1)^2+4} = \frac{1}{s^2+2s+5}$$