Weisen Sie nach, dass f eine lineare Abbildung ist. (Abbildungsvorschrift gegeben)

Question

Aufgabe:

Es sei $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ eine Abbildung mit der Abbildungsvorschrift

$f\left(\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]\right)=x_{1} \cdot\left[\begin{array}{c} k_{1} \\ 0 \end{array}\right]+x_{2} \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ k_{2} \end{array}\right] \quad \text { mit } k_{1} \cdot k_{2} \neq 0$

(a) Weisen Sie nach, dass $f$ eine lineare Abbildung ist.

(b) Stellen Sie $f$ in der Form $f(x)=A x$ dar.

(c) Zeigen Sie: Das Bild einer Geraden $g$ unter der linearen Abbildung $f$ ist wieder eine Gerade $g^{\prime}$.

(Tipp: Setzen Sie die Gerade $g$ als $x=c+\lambda u$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ sowie $c, u \in \mathbb{R}^{2}$ an)

(d) Wir wählen $k_{1}=2,5$ und $k_{2}=-3$. Nun betrachten wir die Gerade $g$ mit der Geradengleichung

$g:\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right]+\lambda\left[\begin{array}{r} -1 \\ 5 \end{array}\right] \quad(\text { mit } \lambda \in \mathbb{R})$

Bestimmen Sie die Gleichung der Bildgeraden $g^{\prime}$.

(e) Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $g^{\prime}$ aus Teil (d) in ein Koordinatensystem ein.

Answer 1

Wobei brauchst du Hilfe?
Eine Lineare Abbildung hat die Eigenschaften:
f(x+y) = f(x)+f(y)

f(ax) = a*f(x)

mit a Element R .
Nimm dir also 2 Vektoren (x1,x2) und (y1,y2 ) und prüfe diese Eigenschaften nach.

b ) sollte doch auch überhaupt kein Problem sein, das kann man ja sogar ablesen aus der gegebenen Abbildung.

zu c ist ja auch eine Anleitung gegeben.

d) Einfach einsetzen.

e) Zeichnen.

Comments

Ich hab Aufgabenteil a) noch hinbekommen, aber mit b) habe ich ehrlich gesagt echt Probleme...ich kann sowas leider nicht ablesen und zeigen kann ich das leider auch nicht,da wir das in der VL an nem ganz anderen beispel hatten... :-(

Könntest du mir das eventuell erklären Marvin?

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Ich hätte auch gerne eine erklärung bzw. wie muss ich die gerade einsetzen. Habe doch eine 2*2 matrix wie soll ich diese mit der gerade multipliziere. Bitte um hilfe . Vielen dank

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Oh, tut mir leid, habe deinen Kommentar jetzt erst gesehen.

Bei der

b)
Es ist doch offensichtlich ,dass

A=

k1 0

0 k2

und f(x) = A*x gilt.

Mit x Element R²

Rechne doch mal nach,was passiert,wenn du meine gegebene Matrix mit (x1,x2) multiplizierst.

Answer 2

b)

A = ((k1, 0),(0,k2)) ist die abzulesende Matrix.

f(x) = A *x

Comments

Die matrix hab ich auch. Mein problem ist die Gerade. Ich soll womöglich fur x die Gerade einsetzen aber wie kann ich denn diese matrix mit der gerade multiplizieren. Habe dann nur eine Zeile oder bin ich da grad komplett falsch.

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Schreib bitte jeweils alles hin, was du selbst kannst, damit man weiss, wo man weiterfahren kann.

Dort steht doch:

x = c + λu

Wie ihr das in der Vorlesung notiert, weiss ich nicht. EDIT: VERGISS DIESEN KOMMENTAR UND BETRACHTE DEN NàCHSTEN.

Aber, da das eine Geradengleichung ohne Vektoren ist,

würde ich x1 = u und x2= c + ku nehmen.

f(x) = A *x

wäre nun

f((u, c+λu)) = A *((u, c+λu))

 = (k1*u , k2*(c + λu))

= (k1*u, k2*(c + λ*(1/k1)*(k1*u))

= ( U, k2*c + λ (k2/k1) * U) 

Das ist wieder eine Geradengleichung, da k1 und k2 n.V. ≠ 0. q.e.d.

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Nachdem ich d) gelesen habe, war c wohl doch etwas anders gemeint.

f(x) = A *x 

f(x) = A *(c + λu) = Ac + A(λu) = (Ac) + λ(Au) 

Also f(x) =  (Stützvektor) + λ(Richtungsvektor)  . D.h. wieder eine Gerade. q.e.d.

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Ok das hatte ich auch so gemeint nur das Problem ist b ei mir dann gewesen dass ich die Matrix ja nicht mit der Gerade multiplizieren kann. Aber wenn man es allgemein betrachtet geht es dann. Wollte das gezielt ausrechnen. Super vielen dank für die Hilfe