Gleichung der Parabel 4. Ordnung mit 3 'Schnittpunkten' berechnen!

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

"Eine Parabel 4.Ordnung is symmetrisch zur y-Achse, schneidet diese bei y=5 und berührt die x-Achse an den Stellen x₁= -√5 und x₂=√5
Wie lautet die Gleichung der Parabel?"

Nun weiß ich nicht wie ich beginnen soll, sprich mit welcher Formel, welchen Variablen usw.?!

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Answer 1

"Parabel 4. Ordnung" ist eigentlich auch kein trivialer Ausdruck...

Aber vermutlich meint es einfach eine Parabel, die in der Funktionsgleichung Exponenten bis 4 hat.

Was du vielleicht weißt, vielleicht aber auch nicht, dann ist es nützlich zu wissen:
Wenn eine solche Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, dann gibt es nur gerade Exponenten. Also ist die Funktionsgleichung:

f(x) = ax⁴ + bx² + c

Du hast 3 Punkte gegeben, aus denen du drei Gleichungen machen kannst:

f(-√5) = a · (-√5)⁴ + b · (-√5)² + c = 0 
f(√5) = a · (√5)⁴ + b · (√5)² + c = 0
f(0) = a · 0⁴ + b · 0² + c = c = 5

a · 5² + b · 5 + 5 = 0 |Hinweis: Das ergibt sich aus beiden oberen, denn das Minus fällt beim Quadrieren weg

25a + 5 b = - 5
5a + b = -1

Jetzt kannst du ein beliebiges a und b suchen, sie müssen nur diese Gleichung erfüllen.

Möglich ist zum Beispiel a = 0,2 und b = -2.

Ich hoffe, du konntest das nachvollziehen.

LG derhaberer

Comments

Das mit den geraden Exponenten wusste ich nicht.
Jetzt kann ich die Aufgabe lösen :)

Danke noch mal! :)

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Ja, weiß aber nicht ob meine Rechnung so richtig ist...

Das mit den geraden Exponenten stimmt, aber vielleicht schaust du dir nochmal die Antwort von georgborn an.

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@derhaberer
Der Clou an der Aufgabe ist die Formulierung
und berührt die x-Achse....

Diese Formulierung wird gebraucht um zu sagen :
dies ist ein Berührpunkt ( hier 1.Ableitung an der Stelle = 0 )

siehe meine Antwort

mfg Georg

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Da hast du recht, leider war ich mitten im Antworten. Meine Rechnung ist also tatsächlich falsch ^^

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Gräme dich bloß nicht allzulange.

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Als falsch würde ich deine Antwort nicht bezeichen.
Dir ist bloß das " berühr " entgangen.

Answer 2

"Eine Parabel 4.Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse,
schneidet diese bei y=5 und
berührt die x-Achse an den Stellen x₁= -√5 und x₂=√5
Wie lautet die Gleichung der Parabel?"

Durch die 1. Aussage bezüglich der Symmetrie kann die allgemeine Formel
für eine Funktion 4.Grades reduziert werden auf :

f ( x ) = a*x^4 + b* x^2 + c

Alle anderen Glieder würden eine Unsymmetrie hervorrufen.

f ( 0 ) = 5
f ( x ) = a*0^4 + b* 0^2 + c = 5  => c = 5

Die Formulierung " berührt die x-Achse " bedeutet :
f  ( √5 )  = 0 und
f ´( √5 ) = 0
Die x-Achse ist eine Tangente bei x = √5 und hat dort die Steigung 0.

f ( x ) = a*x^4 + b* x^2 + 5
f ( √5 ) = a * (√5)^4 + b * (√5)^2 + 5 = 0
a * 25 + b * 5 + 5 = 0

f ´( x ) = 4 * a * x^3 + b * 2 * x
f ´( √5 ) = 4 * a * (√5)^3 + b * 2 * (√5 ) = 0
4 * a * (√5)^3 + b * 2 * (√5 ) = 0

Wir haben jetzt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
a * 25 + b * 5 + 5 = 0
4 * a * (√5)^3 + b * 2 * (√5 ) = 0

Schaffst du das allein ?

Zur Kontrolle

f ( x ) = 1/5 * x^4 - 2*x^2 + 5

Answer 3

Wegen der Symmetrie dieser ganzrationalen Funktion 4. Grades zur \(x\)-Achse müssen die beiden genannten Berührstellen Doppelnullstellen der Funktion sein. Damit liegt der sehr einfache Produktansatz
$$ y = a \cdot \left(x+\sqrt{5}\right)^2\cdot \left(x-\sqrt{5}\right)^2 $$nahe, den wir auch so schreiben können:
$$ y = a \cdot \left(x^2-5\right)^2 $$Wegen \(y=5\) für \(x=0\) folgt leicht \(a=1/5\) und unsere Funktionsgleichung lautet somit:
$$ y = \frac { 1 }{ 5 } \cdot \left(x^2-5\right)^2 $$Das ist deutlich einfacher und kürzer als der Weg über den Polynomansatz.

Das Vorhandensein von mehr als einem Rechenweg ist ein Kennzeichen für ein gutes Aufgabendesign. Es ist typisch für abiturartige Aufgaben, bei denen es auch darauf ankommt, aus den möglichen Lösungswegen einen günstigen Weg auszuwählen.