Steckbriefaufgabe: zum Ursprung symmetrische Parabel 3.Ordnung hat ihren Extrempunkt in E(-1/4).

Question

Eine zum Ursprung symmetrischen Parabel 3.Ordnung hat ihren Extrempunkt in E(-1/4)

Stellen sie die Gleichung der funktion auf!

Kann mir vielleicht jemand die Aufgabe Rechen ,Bitte ?

Answer 1

 

Du sollst mal ein bisschen Übung gewinnen, daher nur der Ansatz :P 

Gesucht ist eine Parabel 3.Grades: 

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Vorsicht ! 

Symmetrisch zum Ursprung, also Punktsymmetrie! 

--> nur ungerade Exponenten : 

f(x) = ax³ + cx  

 Extrempunkt in E(-1/4)

Das heißt der Punkt E liegt auf dem Graphen

--> f(-1) = 4 

Der Wert von dem Punkt muss die y- Koordinate definieren, also können wir das schreiben

nun brauchen wir noch eine weitere Information, da bei zwei unbekannten auch zwei Gleichungssysteme zu bilden sind.

Rufe dir die Kurvendiskussion noch mal hervor, da haben wir für die Extrema die zweite Ableitung = 0 gesetzt.
Das machen wir hier auch ! 

f'(x) = 3ax² + c = 0 

Die x- Koordinate ist bekannt, super ! 

f'(-1) = 0

Nun setzt du für diese Gleichungen immer bei x -1 ein und löst diese auf. Du wirst dann a und c herausbekommen. 
Poste mal deine Lösung, ich werde sie gerne kontrollieren : D

EDIT:

LGS: 
I. f(-1)= -a - c = 4 

II. f'(-1)= 3a + c= 0 

Gruß Luis 

Answer 2

"Eine zum Ursprung symmetrischen Parabel 3.Ordnung hat ihren Extrempunkt in \(E_1(-1|4)\)"

Ich verschiebe um 4 Einheiten nach unten:

\(E_1(-1|4)\)  →  \(E_1´(-1|0)\)  doppelte Nullstelle und waagerechte Tangente

\(f(x)=a*(x+1)^2*(x-N)\)

\(U(0|0)\)  →  \(U´(0|-4)\)

\(f(0)=a*(0+1)^2*(0-N)=-a*N=-4\)   →   \(a=\frac{4}{N}\)

\(E_1(-1|4)\)  weiterer Extremwert bei  \(E_2(1|-4)\)  → \(E´_2(1|-8)\)

\(f(1)=\frac{4}{N}*(1+1)^2*(1-N)=\frac{16}{N}*(N-1)=8\)

\(\frac{2}{N}*(N-1)=1\)     \(N=2\)        \(a=2\)

\(p(x)=2*(x+1)^2*(x-2)+4\)