Gegeben sind die Funktionen f: x → 0,5 x 2x; x ∈ℝ und g: x → -3 x 2-2x ; x ∈ℝ

Question

Bitte um Hilfe dieser Hammeraufgabe!

Gegeben sind die Funktionen f: x → 0,5 x 2^x; x ∈ℝ und g: x → -3 x 2^-2x ; x ∈ℝ

a, Durch welche geometrische Operationen (Dehnung, Spiegelung, Verschiebungen,....) ergeben siche die Graphen von f und g aus dem Graphen der Exponentialfunktion h: x → 2^x; x ∈ℝ

b, Stellen Sie die Funktion f und g in einem Koordinatensystem graphisch dar (Einheiten auf der x-und y Achse jeweils 1 cm).

c, Bestimmen Sie zeichnerisch die Umkehrfunktion f^-1(x) und g^-1(x) und geben Sie die Funktion f^-1 und g^-1 an.

d, Berechnen Sie die Funktionstherme von f^-1(x) und g^-1(x) und geben Sie die Funktion f^-1 und g^-1 an.

Answer 1

f: x → 0,5 * 2^x; x ∈ℝ     
0,5 * 2^x   
= 2^{-1} * 2^x = 2 ^x-1   
also entweder wie 2^x mit dem Faktor o,5 gestaucht
oder   wie 2^x und um 1 nach rechts verschoben
Das ist hier beides das gleiche.

Umkehrung:
            y = 0,5 * 2^x nach x auflösen
              2y =  2^x
   log₂(2y) = x

also f ^-1 (x) =    log₂(2y) = 1 +    log₂(x)

g: x → -3 x 2^-2x ; x ∈ℝ
Bedenke:  alle y-Werte sind negativ, also
ist die Umkehrfkt. nur für negative Werte definiert

y = -3 * 2 ^-2x
y/-3 = 2 ^-2x  = 0,25 * 2^{-x}
(-4/3)*y =   2^{-x}   
  log₂((-4/3)y) = -x          log ist definiert, da y<0
     x =   -   log₂((-4/3)y) 
also g^{-1} (x)  = -   log₂((-4/3)x)    für alle x<0.