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Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1/4x - 2x2+4 für x ∈ℝ

a) Zeichne das Schaubild der Funktion f.

b) vom Punkt P (-1/8,25) ausgehend werden Tangenten an das Schaubild der Funktion f gelegt. Bestimme die exakte Gleichung einer dieser Tangenten.

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Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1/4x - 2x2+4 für x ∈ ℝ

Vom Punkt P (-1/8,25) ausgehend werden Tangenten an das Schaubild der Funktion f gelegt. Bestimme die exakte Gleichung einer dieser Tangenten.

4 Antworten

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Hier schon einmal das Schaubild.
Der Rest kommt später

Bild Mathematik

von 2,5 k
Die symbolische Skizze zeigt dir die Zusammenhänge

Bild Mathematik

Die Gerade P nach B ist die Tangente
Die Tangente hat dieselbe Steigung wie die Funktion f
im Berührpunkt B
Die Steigung ist Δ y / Δ x = ( f (xB)  ) - 25 ) / ( xB - ( -1/8 )
Die Steigung im Berührpunkt ist f ´( xB)
Also
f ´( xb ) =  ( f (xB)  ) - 25 ) / ( xB - ( -1/8 )
Dies sind die grundsätzlichen Zusammenhänge.

Geht noch weiter.

Ich habe mit
P ( -1/8  | 25 ) gerechnet.
Ich denke der Punkt heißt

P ( -1  | 8.25 )

Geht erst morgen weiter.

Hier die weiteren Berechnungen

Bild Mathematik

Die Probe bestätigt : Die Steigung über das
Steigungsdreieck berechnet sowie die 1.Ableitung
sind identisch.

Berechnung der Tangentengleichung
8.25 = -3 * -1 + b
b = 5.25
t ( x ) = -3 * x + 5.25

Bild Mathematik

Ich hoffe du konntest mir folgen.
Falls du Fragen hast dann nachfragen.

mfg Gold-und-Siler-lieb-ich-sehr

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zu b) Die Geradenschar durch P (-1/8,25) hat die Gleichung y=mx+m+8,25. Berechne die Schnittpunkte einer Geraden aus der Schar  mit dem Graphen von f. (biquadratische Gleichung mit dem Parameter m). Der Teilterm dieser Lösungen unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Lösungen. Ist der Radikand gleich Null, handelt es sich um das m der Tangente.

von 103 k 🚀

Diese Antwort hilft gar nicht!!

Das kann ich gut verstehen, nachdem ich einmal nachgerechnet habe. Besser du zeichnest den Graphen und den Punkt P (-1/8,25) und legst mit dem Lineal eine Tangente an der Graphen durch den Punkt P. Dann stellst du fest, dass es wohl die Wendetangente sein muss. Gleichung y=-3x+5,25.

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$$y=\frac{1}{4}x^4-2x^2+4\\P(-1|8,25)\\ \underline{(1)\space 1. Ableitung}\\y'=x^3-4x\\\underline{(02)\space y'(-1)=m=(-1)^3-4\cdot (-1)}\\m=3\\ \underline{(03) \space x=-1\qquad\text {in die Aufgabe einsetzen}}\\y=\frac{1}{4}(-1)^4-2(-1)^2+4\\y=\frac{1}{4}-2+4=2,25\\\underline{(4)\space y=mx+b}\\ 2,25=3(-1)+b\\2,25=-3+b⇒b=5,25\\⇒y=mx+b\\y=3x+5,25 $$

                                   

von 112 k 🚀
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Bild Mathematik

von 112 k 🚀

Hallo GroßerLöwe,

du hast eine Tangente für f ( x ) an der Stelle
( -1 | 2.25 ) berechnet.
Die Tangente geht aber nicht durch den Punkt ( -1 | 8.25 )

mfg

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