Grenzwert bestimmen lim x*ln((x+1)/(x-1)) für x gegen unendlich

Question

lim x*ln((x+1)/(x-1)), x gegen ∞

Ich habe hier die Rechenschritte vorliegen aber weiß nicht wie man von

x*ln((x+1)/(x-1))

zu

2*((x²)/((x+1)(x-1))

kommt.

Es liegt wahrscheinlich daran, dass ich noch Probleme mit Log habe.

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
$=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2 \frac{x^{2}}{(x+1)(x-1)}$
$=2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{(x+1)(x-1)}$
$=2$
$=2$

Comments

Könnte das Hospital sein?

Vor dem ersten Schritt: Faktor x als 1/x unter den Bruchstrich nehmen?

Aber, wenn man ln nicht gehabt hat, ist wohl auch noch kein Hospital möglich (?)

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Meinst komplett x mit 1/x ersetzen und dann x->0 zu betrachten ?

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Nein. Künstlich einen Bruch wie beschrieben erzeugen.

Oben der vorhandene ln und unten (1/x) oder x^-1 schreiben. Dann Hospital.

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Oder meinst du den ln-Ausdruck als g(x) zu betrachten und h(x) = 1/x .

Somit wäre f(x)= g(x) / h(x).

Für x gegen unendlich läuft beides gegen 0.

Answer 1

In den Kommentaren steht bereits die Lösung.

"künstlicher Bruch" + lHospital.

Comments

Ausgeführt ist das in der Antwort von georgborn hier: https://www.mathelounge.de/37400/limes-x-ln-x-1-x-1-fur-x-unendlich

Beachte, dass 2013 der Bruchterm auf dem Kopf stand. Daher damals -2 nicht 2  wie hier.