Volumen und Rotationskörper

Question

Gegeben ist die Funktion a > 0

f (x) = √x                  ( x € [0,a] )

1. Man berechne die Mantelfläche desjenigen Rotationskörpers. der ensteht, wenn der Graph

der Funktion f um die x - Achse rotiert.

2. Man betrachte die Volumina zweier Rotationskörper

a) Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen und x Achse bei Rotation um die x Achse

b) Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen und x Achse bei Rotation um die y Achse

Wie groß muss a gewählt werden, damit beide Volumina gleichgfroß sind?

Kann mir jemand bei der aufgabe weiterhelfen?

Answer 1

f ( x ) = √ x ( kannst du einmal zeichnen )

2. Man betrachte die Volumina zweier Rotationskörper 

a) Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen und x Achse bei Rotation um die x Achse 

f ( x ) = √ x
A ( x ) = π * ( √ x )^2 = π * x
Stammfunktion
∫ π * x dx
π * x^2 / 2

V  = [ π * x^2 / 2 ]₀^a
V = π * a^2 / 2

b) Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen und x Achse bei Rotation um die y Achse

Funktion
y = √ x
Umkehrfunktion
x = √ y
y = x^2
A ( x ) = π * (x^2)^2 = π * x^4
Stammfunktion
∫ π * x^4
π * x^5 / 5
b ist Abschnitt auf der y-Achse
V  = [ π * x^5 / 5 ]₀^b
V = π * b^5 / 5
Dies wäre der Rotationskörper zur y-Achse.
Es ist aber der Rotationskörper zur x-Achse gefragt.
Dieser Funktionswert an der Stelle b
b^2
A = ( b^2)^2 * π
V = A * b
V = b^5 * π

Rotationskörper zur x-Achse
V = b^5 * π - Rotationskörper zur y-Achse
V = b^5 * π - π * b^5 / 5
V = π * 4 * b^5 / 5 

Wie groß muss a gewählt werden, damit beide Volumina gleichgfroß sind?

Jetzt soll das Volumen beider Rotatiosnkörpergleich sein
π * a^2 / 2 = π * 4 * b^5 / 5
und b soll a sein
π * a^2 / 2 = π * 4 * a^5 / 5

Soviel zunächst.
Ich kann gern noch ein Bildchen einstellen.

Zur Mantelfläche : hier muß mit der Bogenlänge gearbeitet werden.

Comments

Es fehlt noch die Lösung :  a = 25/64

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Nö, die hast du doch nachgeliefert.

Wie wäre es mit einer eigenen Antwort zur Berechnung der Mantelfläche ?
Die fehlt wirklich noch.

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die hast du doch nachgeliefert.

Nein, sondern geliefert

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die hast du doch nachgeliefert.

Nein, sondern geliefert

Du kannst ja sprachlich fein säuberlich unterscheiden.

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In meinem Kommentar steckt auch eine mathematische Aussage.

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danke schonmal für die antwort :) aber diesen schritt versteh ich nicht ... vielleicht wären doch bilder ganz nett :)

Dies wäre der Rotationskörper zur y-Achse. 
Es ist aber der Rotationskörper zur x-Achse gefragt. 
Dieser Funktionswert an der Stelle b 

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Wir müssen erst einmal klären was
gemeint ist. Die Aufgabenstellung ist
auch nicht eindeutig.

Das erste Bild zeigt die Funktion f
2.) Rotation um die x-Achse
3.) u. 4.)
Rotation um die y-Achse:
a.) das Volumen wird oberhalb der Funktion
angenommen
b.) das Volumen wird unterhalb der Funktion
angenommen.

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ok mit der zeichnung habe ich jetzt schonmal verstanden was gemeint ist aber wo kommt das her? kannst du das nochmal ausführlicher schreiben bitte

Dieser Funktionswert an der Stelle b 
b² 
A = ( b²)² * π 
V = A * b 
V = b⁵ * π 

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Ich habe großes Interesse daran die Aufgabe richtig zu lösen.

Was ist mit der Aufgabenstellung
a) Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen und x Achse bei Rotation um die x Achse 
Wo sind dort 2 Funktionsgraphen ?
Ich habe 1 Funktionsgraphen und dieser rotiert um die x-Achse.

Derselbe Funktionsgraph rotiert um die y-Achse.
Was ist gemeint ?
a.) das Volumen wird oberhalb der Funktion
angenommen
b.) das Volumen wird unterhalb der Funktion
angenommen.

Wir müssen die grundsätzlichen Gegebenheiten erst einmal klären.
Wir können nicht auf Falschem aufbauen.

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oh ja stimmt das war nen schreibfehler von mir ... dieses zwei gehört dort nicht hin.

ja ok ich kanns mir jetzt bildlich vorstellen mit dem volumen ober und unrterhalb

ach und b soll heißen ...wir betrachten das volumen oberhalb der funktion bis zu der stelle b?

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Ja.
Ich gehe jetzt erst einmal Mittagessen.
Dann gehts weiter.

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alles klar guten appetit :)

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Hier die Skizzen

Die erste Skizze zeigt die Funktion √ x
Als Funktionswert an der Stelle a ergibt
sich b = √ a

Es wurde die Umkehrfunktion gebildet u ( x )= x^2 
Die 3.Skizze zeigt die Umkehrfunktion.
Die Stammfunktion zur Berechnung des Volumens
ist x^5/5 * π

Die obere Integrationsgrenze wäre b. Diese wird aber
direkt ersetzt durch b = √ a
Es ergibt sich für das Volumen
V = ( √ a )^5 / 5 * π
V = a^2 * √ a  / 5 * π

Die Volumia der Rotationskörper der Funktionen f ( x ) und
u ( x ) sollen gleich sein.
π * a² / 2 = a^2 * √ a  / 5 * π  | kürzen
1 / 2 = √ a  / 5
√ a  = 5 / 2
a = 25 / 4

So. Hoffentlich stimmts. Hast du die Lösung ?