Landeanflug (Extremalprobleme und Rekonstruktion)

Question

Da wir im Unterricht nur an einfachen Parabeln geübt haben und wir nun als Hausaufgaben Textaufgaben bekommen haben, gibt's Probleme bei der Lösung der Aufgaben.

Ein Flugzeug nähert sich im horizontalen Gleitflug dem Punkt P(-4|1). Dort beginnt der Pilot mit dem Sinkflug, der im Punkt Q(0|0) endet.

a) Modellieren Sie die Sinkflugphase durch f(x)= ax³ + bx² + cx + d so, dass eine möglichst sanfte Landung erreicht wird.

b) An welcher Stelle ist die Flugbahn am steilsten? Wie groß ist dort der Abstiegswinkel

zu a) Hier würde ich zunächst Bedingungen aufstellen. Punkt P kann ja als Extrempunkt angesehen werden also : f(-4)=1   und  f'(-4)=0

Punkt Q ist die Nullstelle also: f(0)=0    und   f''(0)=0

Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie man eine sanfte Landung erreichen soll ?!

zu b) Hier könnte man ja die Steigung aus a in den arctan() einsetzten oder?

Hoffe ihr könnt mir helfen

Comments

Für eine sanfte Landung würde ich

Punkt Q ist die Nullstelle also: f(0)=0    und   f ' (0)=0 ansetzen. Setzt voraus, dass da kein Baum... im Weg steht.

Das sind ja dann schon 4 Gleichungen für deine 4 Unbekannten. Sanfter kannst du es mit einem Polynom 4. Grades nicht machen.

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Da jetzt ein bisschen mehr los ist, bitte ich noch mal um Hilfe ;D

Answer 1

Hast du das a) denn mit diesen 4 Gleichungen noch nicht rausbekommen?

f(0) = 0 → d=0

f ' (0) = 0 → c=0

a) Modellieren Sie die Sinkflugphase durch f(x)= ax³ + bx²

f ' (x) = 3ax^2 + 2bx

so, dass eine möglichst sanfte Landung erreicht wird.

b) An welcher Stelle ist die Flugbahn am steilsten? Wie groß ist dort der Abstiegswinkel

zu a) Hier würde ich zunächst Bedingungen aufstellen. Punkt P kann ja als Extrempunkt angesehen werden also : f(-4)=1   und  f'(-4)=0

f(-4) = -64a + 16b = 1        (I)

f ' (-4) = 48a - 8b  = 0  -----> 48a = 8b

6a = b in (I) einsetzen

-64a + 16*6a = 1

-64a + 96a = 1

32a = 1

a = 1/32

b= 6/32 = 3/16

f(x) = 1/32 x^3 + 3/16 x^2

Bitte mal sorgfältig nachrechnen und Plot ansehen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F32+x%5E3+%2B+3%2F16+x%5E2

Den Wendepunkt kannst du via f ''(x) = 0 berechnen. Alternative: Du weisst, dass Polynome 3. Grades punktsymmetrisch sind bezüglich des Wendepunktes. Daher genau zwischen den beiden bekannten Extrempunkten.

Du kennst somit x-Koordinate x_(W) = -2 und  die y-Koordinate y_(W) = 1/2 von W bereits. W(-2 | 1/2)

Kontrolle Rechenweg zu y:

y_(W) =  1/32 (-2)^3 + 3/16 (-2)^2 = -8/32 + 12/16 = -1/4 + 3/4 = 1/2