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Form einer Gebrochenrationalen Funktion

Eine Gebrochenrationale Funktion ist sozusagen eine Funktion in Bruchform. Sie wird in folgender Form: f(x) = Z(x) / N (x) dargestellt.

Dabei beschreibt Z(x) das Zählerpolynom und N(x) den Nennerpolynom. Einzeln betrachtet sind N(x) und Z(x) ganzrationale Funktionen.

Der Grad von N(x) muss mind. 1 sein. Das bedeutet im Nenner muss mindestens ein x in der 1. Potenz (x^1 = x) vorkommen.

Ein Beispiel: f(x) = (3x² + x) / (x + 1)

Echt oder unecht gebrochen ?

Bei einer echt gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) kleiner wie der Grad von N(x)

Beispiel: f(x) = (x+1) / (x²+x+1)

Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) größer wie der Grad von N(x)

Beispiel: f(x) = (x³ +1) / (x² -x)

Solche kann man immer als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion schreiben.

Im Beispiel : f(x) = (x³ +1) / (x² -x) = x+1 + ( x +1) /  (x² -x)

Definitionslücken

Die Definitionslücken beschreiben die reellen Zahlen, für welche der Funktionsterm nicht definiert ist. Die Definitionslücken sind die NST  vom Nennerpolynom, die nicht zugleich auch Nullstellen des Zählerpolynoms sind.

Beispiel: f(x) = (2x^4 + x²) / (x-1)

x -1 ist der Nennerpolynom. Die Nullstellen davon sind die Definitionslücken der Gebrochenrationalen Funktion.

0 = x - 1 → 1

Die Definitionsmengen werden folgendermaßen dargestellt:

ID = IR \ {1}

Zwei Arten der Definitionslücken

a) Die Nullstelle des Nennners ist gleichzeitig auch Nullstelle des Zählers. In diesem Fall liegt eine hebbare Lücke vor. Das bedeutet im Graphen der Funktion ist an dieser Stelle sozusagen ein "Loch"

b)Die Nullstelle des Nenners ist nicht gleichzeitig auch Nullstelle des Zählers. An dieser Stelle liegt eine Polstelle bzw. eine senkrechte Asymptote vor.

Nullstellen der Funktion

NST = Schnittpunkte mit der x-Achse und y ist gleich 0

Um die NST der gesamten gebrochenrationalen Funktion zu ermitteln, wird das Zählerpolynom Null gesetzt.

Beispiel: f(x) = (x+1) / (x²+x+1)

0 = x +1 → -1. Die Nullstelle ist also bei - 1

Zusammenfassung:

Funktionsterm ist ein Quotient zweier ganzrationale Funktionen.

Nullstellen vom Nenner sind die Definitionslücken der gebrochenrationale Funktionen

Definitionslücken werden aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen

Nullstellen vom Zähler sind die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion

geschlossen: Mathe-Artikel
von mathelounge
Avatar von

Danke für den Artikel. Hierfür gibt es 40 Bonuspunkte.

Aufpassen: "kleiner wie der Grad von N(x)" → "kleiner als der Grad von N(x)"

a) Die Nullstelle des Nenners ist gleichzeitig auch Nullstelle des Zählers. In diesem Fall liegt eine hebbare Lücke vor. Das bedeutet im Graphen der Funktion ist an dieser Stelle sozusagen ein "Loch"

Das ist so nicht richtig:

Beispiel:   f(x) =  (x-1) / (x-1)2  

Zähler und Nenner haben die gleiche Nullstelle x = 1.

Da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner (2)  größer ist als die im Zähler (1), liegt keine hebbare Lücke sondern eine Polstelle vor.

1 Antwort

+2 Daumen

Die Definitionslücken beschreiben die reellen Zahlen, welche nicht für den Funktionsterm definiert sind. Die Definitionslücken sind die NST von N(x), also vom Nennerpolynom.

besser :
Die Definitionslücken beschreiben die reellen Zahlen, für welche der Funktionsterm nicht definiert ist. Die Definitionslücken sind die NST von N(x), also vom Nennerpolynom.

Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) größer wie der Grad von N(x)

Beispiel: f(x) = (x³ +1) / (x² -x)

Solche kann man immer als Summe einer gantrat. Fkt und einer echt gebr. rat. Funkt. schreiben

im Beispiel : f(x) = (x³ +1) / (x² -x) = x+1 + ( x +1) /  (x² -x)


0 = x - 1 ---> 1ist eine Def.lü.

Die Definitionsmengen werden folgendermaßen dargestellt:

ID = IR \ {1}

Nullstellen vom Zähler , die keine Nullstellen des Nenners sind, sind die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion

eventuell könnte man noch was über Asymptoten reinbringen.


Avatar von 287 k 🚀

Hi mathef, das sind wichtige Ergänzungen, sehr gut. Könntest du bitte diese oben in den Artikel einarbeiten.

Danke,
Kai

das mit dem kleiner wie hattest du ja schon bemerkt

irgendwo war auch einzelnt statt einzeln aufgetaucht.

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