Gegeben sind zwei Anfangswertprobleme. Gesucht ist jeweils die Lösung vec{y}(t).

Question

Gegeben sind zwei Anfangswertprobleme

\( \frac{d \vec{y}(t)}{d t}=A \vec{y}(t), \quad \vec{y}(0)=\overrightarrow{y_{0}} \)

Gesucht ist jeweils die Lösung \( \vec{y}(t) \).

Aufgabe a)

\( A=\left[\begin{array}{cc} 7 & -4 \\ 12 & -7 \end{array}\right], \quad \overrightarrow{y_{0}}=\left[\begin{array}{l} -1 \\ -3 \end{array}\right] \)

\( S = \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{pmatrix} \)
\( D = \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{pmatrix} \)
\( S^{-1} = \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{pmatrix} \)
\( \vec{y}(t) = \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \)

Aufgabe b)

\( A=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 48 & 14 & -8 \\ 72 & 24 & -14\end{array}\right], \quad \overrightarrow{y_{0}}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -3\end{array}\right] \)

\( S = \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} \)
\( D = \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} \)
\( S^{-1} = \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} \)
\( \vec{y}(t) = \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \)

Answer 1

Hi,
zu (a)
Du must die Eigenvektoren der Matrix \( A \) bestimmen. Die Matrix \( S \) bestehend aus den Eigenvektoren hat dann die Eigenschaft das gilt
$$ S^{-1}A S = D  $$ und \( D \) ist eine Diagonalmatrix die auf der Diagonalen die Eigenwerte der Matrix \( A \) stehen hat. D.h. es gilt $$ A = S D S^{-1}  $$ Damit wird die Dgl. $$  y'(t) = A \cdot y(t) $$ mit $$ y(0) = y_0  $$ und der Transformation $$ z(t) = S^{-1} y(t) $$ zu $$  (1) \quad z'(t) = D z(t) $$ und $$ (2) \quad z(0) = S^{-1} y_0  $$ Die Gleichungen (1) und (2) haben die Lösung
$$ z(t) = e^{D t} S^{-1} y_0 = \begin{pmatrix} -6e^{-t}\\3e^t \end{pmatrix}  $$ Rücktransformation ergibt
$$ y(t) = S \cdot z(t) =  \begin{pmatrix} 2e^t - 3e^{-t}\\3e^t - 6e^{-t} \end{pmatrix} $$
Den gleichenn Weg musst Du auch für Aufgabe (b) beschreiten.

Comments

Dankesehr. Ich habe versucht das nachzuvollziehen, aber mir gelingt es nicht D zu bestimmen. Könntest du mir dabei helfen?

Und stimmen meine Ergebnisse für S={{1,2},{2,3}} und S^-1={{-3,2},{2,-1}} schon?

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danke, ich denke zu dieser aufgabe habe ich mittlerweile keine frage mehr.

jedoch ist mir die Methode der linearkombination (https://www.mathelounge.de/204554/anfangswertproblem-linearkombination-von-eigenvektoren) noch etwas schleierhaft. wenn du mir dabei heute abend helfen könntest, wäre das grandios!

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stimmt das so?