Wie lautet die Funktionsgleichung vierten Grades? Extremum und Sattelpunkt bekannt (Kurvendiskussion rückwärts)

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei \( \mathrm{x}=0 \) ein Extremum und bei \( x=-1 \) einen Sattelpunkt. Die Tangente bei \( x=1 \) hat die Gleichung \( f(x)=48 x- \) 48. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Answer 1

f(0)=0

f´(0)=0

f´(-1)=0

f´´(-1)=0

f´(1)=48

Allgemeine Form:

ax⁴+bx³+cx²+dx+e

Jetzt ein Gleichungssystem aufstellen und lösen.

LG

Comments

aber wieso f´(1)=48 kannst du mir das erklären

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Die Steigung an der Stelle x=1 kannst du aus der Tangente an dieser Stelle ablesen.

y=mx+t   wobei m die Steigung (48) ist.

Verstanden?

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ok und woher weiss ich das ich den Wert von einer Tangente also wie hier z.B x=1 in die erste Ableitung setze und nicht in die Ausgangsfunktion

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Die 1. Ableitung ist die Steigung. Und du hast ja hier die Steigung an einer bestimmten Stelle gegeben. Nämlich bei x=1 die Steigung 48.

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ok und noch eine letztes Frage :)

ehm wieso hast du f(0)=0 und f´(O)=0 hin geschreiben 

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Du kannst auch mehr fragen wenn du willst, ich hab Zeit ;)

Du weist ja das x=0 ist. Wenn x=0 ist, dann muss ja auch y, also f(0)=0 sein, da die Funktion ja durch den Ursprung geht. Und du weist, dass an der Stelle x=0 ein Extrempunkt vorliegt. Ein Extrempunkt hat die Steigung 0. Die Steigung ist die 1. Ableitung. Deshalb f´(0)=0

LG

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ja aber kann es nicht sein das der Extrempunkt bei x=0 liegt aber y irgendwo bei 3 z.B ist

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"ok und noch eine letztes Frage :)

ehm wieso hast du f(0)=0 und f´(O)=0 hin geschreiben"

Das ist eine sehr gute Frage und die Antwort oben ist auch interessant!

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@Gast hj912:

Ist meine Antwort falsch? Wenn dem so ist gebe doch bitte kurz Bescheid. Nicht das der Fragesteller etwas falsches hier lernt.

LG

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Danke für deine Rückmeldung! Ein wenig "transferieren" muss man eben auch in der Schule.

@Fragesteller:

Bei solchen Steckbriefaufgaben spielt er y-Wert meistens keine Rolle. Wenn du weist, dass bei x=0 ein Extrempunkt vorliegt, weißt du zugleich, dass sich das Monotonieverhalten ändert und der Graph wieder fällt. Deshalb muss y dort 0 sein und die Steigung auch.

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Simon, das ist nicht richtig. Ob der Graph durch den Ursprung geht oder nicht, ist aus den Angaben nicht ersichtlich. Die fehlende Bedingung steckt woanders.

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Die fehlende Bedingung ist dann wahrscheinlich f(1)=0  oder?

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Ja, das ist sie!

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ich bin durcheinander könnt ihr mir mal alle Bedingungen aufschreiben oder am besten mal auch das gleichungs system lösen

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@Fragesteller:

Eine kleine Korrektur bezüglich der Bedingungen.

f(0)=0 ist falsch. Es muss gelten: f(1)=0

Entschuldige bitte, ich hoffe, das du noch nicht mit dem Rechnen begonnen hast.

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f(1)=0

f´(0)=0

f´(-1)=0

f´´(-1)=0

f´(1)=48

Das sind alle Bedingungen, die du brauchst.

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ok aber wieso haben wir jetzt f(1)=0 aufgeschreiben ?

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Also ich meine jetzt mit f nicht die Tangente, sondern die gesuchte Funktion.

Du weist ja dass die Tangente bei x=1 ist. Der Punkt der Tangente liegt aber auch auf der gesuchten Funktion. Mit Hilfe der Tangente kannst du ja den y-Wert bestimmen, der ist 0 wenn du für x=1 einsetzt.

Answer 2

Zusammenfassung

Angaben
Funktion 4 Grad :
f ( x ) = a*x^4 + b*x^3 + c* x^2 + d*x + e
bei x = 0 ein Extremum : die Steigung ist in diesem Punkt = 0
f ´( x ) = 12*ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
f ´( 0 ) = 0  d => 0

f ( x ) = a*x^4 + b*x^3 + c* x^2 + e
f ´( x ) = 12*ax^3 + 3bx^2 + 2cx
f ´´ ( x ) = 36ax^2 + 6bx + 2c

bei x = -1 einen Sattelpunkt
f ´( -1 ) = 12*a(-1)^3 + 3b(-1)^2 + 2c(-1) = 0
-12*a + 3b - 2c = 0

f ´´ ( -1 ) = 36a(-1)^2 + 6b(-1) + 2c = 0
36a  - 6b  + 2c = 0

Die Tangente bei x = 1 : 48x - 48
m = 48
t ( 1 ) = 48*1 - 48 = 0
also auch
f ( 1 ) = 0
f ´( 1 ) = 48 = 12*a(1)^3 + 3b(1)^2 + 2c(1)
12*a  + 3b + 2c = 48

Es bleibt
d = 0
1.) -12*a + 3b - 2c = 0
2.) 36a  - 6b  + 2c = 0
3.) 12*a  + 3b + 2c = 48

1.) plus 3.)
-12a + 3b + 36a - 6b = 0
24a - 3b = 0
2.) minus 3.)
36a - 6b - ( 12a + 3b ) = -48
24a - 9b = -48

24a - 3b = 0
24a - 9b = -48
------------------
-3b - ( -9b ) = 48
6b = 48
b  = 8

24a - 3*8 = 0
24a = 24
a = 1

-12*a + 3b - 2c = 0
-12*1 + 3*8 - 2*c = 0
-12 + 24 - 2c = 0
c = 6

f ( x ) = x^4 + 8x^3 + 6x^2 + e
von der Tangente
f ( 1 ) = 0
f ( 1 ) = 1^4 + 8*1^3 + 6*1^2 + e = 0
1 + 8 + 6 + e = 0
e = -15

f ( x ) = x^4 + 8x^3 + 6x^2 -15

Bitte nachrechnen.
Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

Die 2 ableitung ist 4ax³+3bx²+2cx+d und nicht 12*ax³ + 3bx² + 2cx

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Der erste Fehler bei mir ist schon bei

bei x = 0 ein Extremum : die Steigung ist in diesem Punkt = 0
f ´( x ) = 12*ax³ + 3bx² + 2cx + d

( Alles andere sind Folgefehler )
Ich rechne die Aufgabe aber nicht noch einmal durch.
ich hoffe dem Fragesteller hat es weitergeholfen.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

mfg Georg