Berechnen Sie das charakteristische Polynom p(x) von M1 und M2

Question

Gegeben sind die beiden folgenden $4 \times 4$ Matrizen:

$M_{1}:=\left(\begin{array}{cccc} -1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad M_{2}:=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right]$

a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom $p(x)$ von $M_{1}$.

b) Berechnen Sie das charakteristische Polynom $p(x)$ von $M_{2}$.

Answer 1

DET([-1 - k, -2, 1, 1; 0, 1 - k, -1, 3; 0, 0, 1 - k, -2; 0, 0, 0, 1 - k]) = (k + 1)·(k - 1)³

Du wirst sicher die Determinente selber herleiten können. Entwickel M1 nach der ersten Spalte oder der 4. Zeile.

DET([1 - k, 1, 0, 1; 0, 1 - k, 0, 1; 2, 1, 1 - k, 3; 0, 1, 0, -1 - k]) = (k - 1)·(k³ - k² - 2·k + 2)